特定の多項式の還元不可能性

Question

しましょう $n \geq 2$ そして、私たちは理論的根拠に取り組みます。

質問0：形式の多項式の既約元への因数分解ですか $p_{n,i}(x)=x^n+x^i+1$ 知られている、どこ $0<i<n$？

質問1：それは本当ですか $n$ そのようなすべて $p_{n,i}(x)$ 既約はシーケンスによって与えられます https://oeis.org/A038754？これは$n \leq 55$。

質問2：場合 $p_{n,i}(x)$ 既約です、そのガロア群は何ですか？

Answer 1

質問1について：

しましょう $n=3^rps$、 どこ $p$ 素数です、 $p\ge5$、および $s$ の倍数ではありません $3$。しましょう$m=3^rt$ どこ $ps>t>0$ そして $ps+t$ の倍数です $3$。しましょう$\zeta=e^{2\pi i/3^{r+1}}$。その後、$\zeta^n+\zeta^m+1$ は1の3つの立方根の合計なので、ゼロです。 $x^n+x^m+1$ の最小多項式で割り切れる $\zeta$。その多項式には次数があります$2\times3^r$、より少ない $n$、 そう $x^n+x^m+1$ 削減可能です。

さあ、 $n=4t$ いくつかのための $t$。その後、$$x^n+x^{n/2}+1=x^{4t}+x^{2t}+1=(x^{2t}+x^t+1)(x^{2t}-x^t+1)$$ そう $x^n+x^{n/2}+1$ 削減可能です。

これは去るだけです $n$ フォームの $3^r$ そして $2\times3^r$考慮する。仮定します$n$ これらの形式の1つであり、考慮してください $x^n+x^m+1$、 $0<m<n$。この時点で、mathoverflow.net / questions / 56579 / about-irreducible-trinomialsで引用された論文の大きな結果を取り込む必要があります。これはそれを言います$x^n+x^m+1$は最大で1つの非円分因子を持ちます。ここで、円分因子とは、ゼロがすべて1の根にある多項式を意味します。あれは、$x^n+x^m+1$ どちらかです $P(x)$ または $Q(x)$ または $P(x)Q(x)$、 どこ $P(x)$ は円分因子であり、 $Q(x)$既約の非円分因子です。もし$Q(x)$、それで完了です–要求に応じて、既約であることを証明しました。したがって、円分因子があると仮定します$P(x)$、ルートがあります $\zeta$、これは統一の根源です。その後、$\zeta^n+\zeta^m+1=0$、3つの1の冪根の消失する合計。これは、3つの1の立方根の合計になります。このことから、私たちは持っている必要があると結論したいと思います$n=2\times3^r$、 $m=3^r$、および $x^n+x^m+1$ の最小多項式です $\zeta$したがって、既約であり、完了しましたが、現在は表示されていません。私はこれを1日か2日で終わらせるために戻ってくるようにします。