トレースエントロピー
トレースエントロピー汎関数と組み合わせ論の関係を研究していますが、次のような問題に直面しています。しましょう$\mathcal {D}$ 次の微分演算子である $1 -x\cdot \cfrac{d}{dx}$ すなわち。 $\mathcal {D} g = g - x\cdot g'$。
にとって $m\ge 0$ 整数の場合 $\Phi_m(x) := x\cdot \log(x)^m$ その後 $\mathcal {D} \Phi_m(x) = -m\cdot \Phi_{m-1}(x)$ および、（少なくとも正式には）関数の場合 $g$ 我々は書ける $g(x) = \sum\limits_{m\ge 0} g_m \cdot \Phi_m(x)$ どこ $$g_m = \cfrac{(-1)^m}{m!}\cdot \mathcal {D}^m g(x) |_{x=1}\;.$$
どんな機能を考えているのか $g(x)$ 以下の条件を満たすことができます $(0;1]$
私） $g(x) \ge 0$、 $g(0)=0$。（陽性）
II） $\mathcal {D}^2 g(x) \le 0$。（ある種の$\mathcal {D}$-凹面）
III） $\left(\mathcal {D}^2 - \mathcal {D}\right) g(x) \le 0$ （これは、演算子で表される標準の凹面です $\mathcal {D}$
IV） $\exists \ 0< \varepsilon \le 1$ そのような $g(x) > -x^2\cdot \log(x) \quad \forall \ x \in (0;\varepsilon)$
V） $\exists \ a \in (0;\frac{1}{2}]$ そのような $$g(a)+g(1-a) = -a\cdot \log(a) -(1-a)\cdot \log(1-a).$$
条件I）、II）、III）のみを課すと、それらを満たす機能はたくさんありますが、
IVを追加）次のフォーム以外の機能が見つかりません $g(x) = k\cdot x \cdot \log(x), \ k$ 実定数（ここ $\varepsilon=1$）。ご了承ください$g$ V）を満たさない。
IV）とV）を追加すると、Boltzman-Gibbs-Shannonエントロピートレース以外の関数が見つかりません。 $-x\cdot \log(x)$
Boltzman-Gibbs-ShannonエントロピートレースがI）-V）を満たす独自の関数であることを「恐れる」。
よろしくお願いします。
回答
どんな場合でも $c\in(0,\log2]$、 関数 $g$ 式で定義されます $g(x)=cx$ にとって $x\in[0,1]$ I）–V）の条件を満たしますが、Boltzman–Gibbs–Shannonエントロピートレースではありません。
もっとたくさんの機能があります $g$Boltzman–Gibbs–Shannonエントロピートレースではない条件I）–V）を満たします。特に、$c_1\in(0,\log2)$、非負の連続関数 $H$ オン $[0,1]$、および十分に小さい本物 $c_2\ge0$ そして $c_3\ge0$、 関数 $g$ 式で定義されます $$g(x)=c_1x-c_2 x\log x-c_3 x\int_0^x du\,H(u)\log\frac xu$$ にとって $x\in[0,1]$ I）–V）の条件を満たしますが、ボルツマン–ギブス–シャノンのエントロピートレースではありません。