トレースと発散定理の積分

Question

読んでいる論文で次のような平等を見つけましたが、確認できずに行き詰まりました。

発散のない滑らかなベクトル場があります $V \colon \mathbb T^N \to \mathbb T^N$トーラスで定義されています。それは主張されています$$ \int_{\mathbb T^N} \text{Tr}[(V \otimes V) \cdot \nabla V] \, dx = 0 $$ どこ $dx$トーラスの標準的なルベーグ測度です。これをチェックする私の唯一のアイデアは、部分積分と発散定理の使用に頼ることです。積分に現れる「トレース」は、ある量の発散に減らす必要があります（$\text{div } V = 0$）そして、結論は確かに発散定理が続きます（私たちはトーラスにいるので）。

ただし、何かが壊れます。2Dでは、明示的な計算により、被積分関数は次のようになります。 $$ v_1^2 \partial_1 v_1 + v_2^2 \partial_2v_2 + v_1v_2 (\partial_1 v_2 + \partial_2 v_1) $$ （導関数と $V=(v_1,v_2)$）そして私はこれを何かの発散として書くことができず、部分積分や $\partial_1 v_1 = - \partial_2 v_2$。

簡単な（一般的な？）トリックが背後にあるはずだと思いますが、計算の夜の後、私はあきらめています。ご協力いただきありがとうございます。

Answer 1

次のベクトル場について考えてみます。 $$X = |V|^2 V = \sum_j V_j^2 V$$ オン $\mathbb T^N$。次に、発散定理によって、$$\int_{\mathbb T^N} \operatorname{div} (X) = 0.$$ 以来

\begin{align} \operatorname{div} (X) & = \operatorname{div} (|V|^2 V) \\ &= \sum_i \nabla_i (|V|^2 V_i) \\ &= 2 \sum _{i,j} (\nabla_i V_j) V_j V_i + |V|^2 \sum_i \nabla_iV_i \\ &= 2 \sum_{i,j} V_i V_j \nabla_i V_j \\ &= 2\operatorname{tr} ( V\otimes V, \nabla V), \end{align}

結果が得られます。

Answer 2

だから、パーツごとに統合し、 $\nabla\cdot v=0$ あなたが持っている $$ \int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}(\nabla\cdot(v\otimes v) \otimes v) = - 0 -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\cdot\nabla v) \otimes v) = -\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) $$ そう $$ 2\int_{\mathbb{T}^N} \mathrm{Tr}((v\otimes v)\cdot\nabla v) = 0. $$