等差数列、 $\gcd(a,b)=1$

Nov 23 2020

等差数列についてこの質問があります。

自然数の場合 $k>1$、 シーケンス : $$1+L , 1+2L , 1+3L ,\dots, 1+KL$$

その長さは $K$

私は選ぶ必要があります $L$ > 0自然数。シーケンス内のすべての数を互いに素にします。

そして $a[i]-a[i-1]=d$ 静的

(シーケンス内の他の番号との共通除数はありません $\gcd(a,b)=1$

回答

achillehui Nov 23 2020 at 22:35

しましょう $a_i = iL + 1$ ために $i = 1,\ldots K$

どんな場合でも $i \ne j$$d = \gcd(a_i,a_j)$

以来 $d$ 両方を分割します $a_i$ そして $a_j$$d$ 分水界 $ia_j - ja_i = i-j$

以来 $1 \le i,j \le K$、 我々は持っています $1 \le |i-j| \le K-1$。これは、$$(i-j) | (K-1)!\quad\implies\quad d | (K-1)!$$

選択した場合 $L$ の倍数になる $(K-1)!$、その後 $d|L$。結果として、

$$d | a_i\quad \iff\quad d |( iL + 1 ) \quad \implies \quad d | 1 \quad\implies\quad d = 1 $$

以来 $i, j$ 任意です、これはいつでも意味します $L$ の倍数です $(K-1)! {}^{\color{blue}{[1]}}$、 すべて $a_i, a_j$ 互いに素である。

注意

  • $\color{blue}{[1]}$ -もっと小さくしたい場合 $L$、交換できます $(K-1)!$ 沿って ${\rm lcm}(1,2,\ldots,K-1)$ そしてそれも機能します。