凸関数の勾配は、その定義域の内部で連続です。

Question

凸型、下部半連続、および適切な関数が与えられます $f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}$ その領域で微分可能ですが、その勾配は本当ですか $\nabla f$ のドメインの内部で連続しています $f$？ここで私は取っています$\text{dom}f = \{x\in\mathbb{R}^n: f(x)<\infty\}$。私が思いついたのは、そのような機能のためのものでした$f$、それは真実でなければなりません $f$は局所的にリプシッツ連続であり、ラーデマッヘルの定理により局所的に微分可能です。しかし、これでは私が望むものが得られません。誰かが証拠や反例を持っていますか？

編集：これは、結局のところ、Rockafellar andWetsの結果9.20です。

Answer 1

一般性を失うことなく、証明するだけで十分です $\nabla f$ で継続しています $x = 0$ いつ $\nabla f(0) = 0$。仮定します$x_n \to 0$ そのようなものです $|\nabla f(x_n)| > a > 0$。与えられた$\epsilon>0$ そのような $B(0,2\epsilon) \subset \text{dom}(f)$、ピック $n$ そのため $x_n \in B(0,\epsilon)$ そして $f(x_n) - f(0) > -\epsilon^2$。私たちは存在することを知っています$y \in B(x_n,\epsilon)$、 $y \ne x_n$、 そのような $$ f(y) \ge f(x_n) + a |x_n - y| $$ （つまり、 $y$ の方向に $\nabla f(x_n)$ に近い $x_n$）。ために$t \in \mathbb R$、 $z_t = t(y-x_n) + x_n$。凸面によって、それを参照してください$t \ge 1$ $$ \tfrac1t f(z_t) + (1-\tfrac{1}t) f(z_0) \ge f(z_1) ,$$ あれは $$ f(z_t) \ge f(x_n) + a t |x_n-y| .$$ 選択 $t = \epsilon / |x_n - y|$。ご了承ください$|z_t| < 2 \epsilon$。次に $$ f(z_t) - f(0) = f(z_t) - f(x_n) + f(x_n) - f(0) \ge a \epsilon - \epsilon^2 . $$ これはそれと矛盾します $\nabla f(0) = 0$。

Answer 2

私はこの投稿をフォローアップの質問で更新しています： $f$ ある凸集合で定義された凸関数です $E\subseteq \mathbb R^n$ そしてそれが微分可能であるかどうか $E$、その勾配は上で連続でなければならないというのは本当ですか $E$ （そしてインテリアだけでなく）？