次の場合にそれを証明する $a+b$ が無理数の場合、少なくとも1つは $a$ または $b$ 不合理です。

Aug 17 2020

私は本の中でこの質問に出くわしました。次のように条件を証明してみました。aとbが有理数であると仮定します。明らかにの合計$a$ そして $b$ は有理数であり、条件と矛盾します。 $a+b$不合理です。したがって、aまたはbの少なくとも1つは不合理です。

何かがおかしい気がします。ここで対偶論法を使用する方が良いと思いますが、私は証明の世界に慣れていないのでわかりません。

回答

peek-a-boo Aug 17 2020 at 20:55

あなたが証明しようとしている声明は $\forall a,b\, (a+b\notin \Bbb{Q} \implies a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q})$。これは単に「すべての人のために」というステートメントの象徴的な翻訳です$a,b$、もし $a+b$ 不合理であり、少なくとも $a$ または $b$ 不合理です」。

ここで、ステートメント $X$ は「$a+b\notin \Bbb{Q}$"、およびステートメント $Y$ は「$a\notin \Bbb{Q} \text{ or } b \notin \Bbb{Q}$"。だから、すべての"の対偶 $a,b$ (($X \implies Y$)」は「 $a,b$ $(\neg Y \implies \neg X)$"、この場合は次のとおりです。

すべてのための $a,b$ 我々は持っています ($a\in \Bbb{Q}$ そして $b\in \Bbb{Q} \implies a+b \in \Bbb{Q}$

そしてこれはあなたが主張したことです。

AnalysisStudent0414 Aug 17 2020 at 20:52

「ここで対偶がどのように機能するのかわかりません」というコメントに答えたいと思います。

しましょう $\mathbb{I} = \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ (無理数のセット)。

あなたはそれを示したい

$$ a+b \in \mathbb{I} \implies a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}$$

対偶に切り替える前に、 $a \in \mathbb{R}$ $$ \lnot (a \in \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in (\mathbb{R} \setminus \mathbb{I}) \Leftrightarrow a \in \mathbb{Q}$$

さて、対偶は

$$ \lnot (a \in \mathbb{I} \vee b \in \mathbb{I}) \implies \lnot (a+b \in \mathbb{I})$$ 上記の観察に照らして、これは $$ a \in \mathbb{Q} \land b \in \mathbb{Q} \implies a+b \in \mathbb{Q}$$

これはの定義プロパティです $\mathbb{Q}$

また、それを覚えておいてください $\lnot (P \vee Q) = (\lnot P) \land (\lnot Q)$