次の形式の非線形方程式を解く $\mathbf x = A f(\mathbf x)$

Question

しましょう $A$ 本物の、可逆的であること $n\times n$マトリックス。ベクトルを見つけることに興味があります$\mathbf{x}\in\mathbb R^n$ 次の方程式を解きます。

$$\mathbf x = A \tanh(\mathbf x)$$

どこ $\tanh$要素ごとに適用されます。より一般的には、他の種類の非線形性を考慮することができます。$\tanh$ （ただし、常に要素ごとに適用されます）。

これらのタイプの方程式の解を研究するための一般的なアプローチはありますか？おそらくの固有分解を利用する$A$？

誰かが文献への関連する参照を提案できる場合に備えて、タグ「reference-request」を追加しました。

Answer 1

2Dの場合、方程式は次の形式を取ります。 $$\begin{cases}x=a f(x)+bf(y),\\y=cf(x)+df(y)\end{cases}$$

との除去後 $y$、単変量非線形方程式を取得します $$\frac{x-af(x)}b=f\left(cf(x)+\frac db(x-af(x)\right).$$ 特定の単純化や固有値との関連は見られません。

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私は、4つの異なる正の解を伴う数値ケースを見てきました。