通常の条件付き分布を使用した条件付きヘルダーの不等式の証明

Aug 19 2020

通常の条件付き分布を使用して、条件付きヘルダーの不等式を証明しようとしています。私が証明しようとしている不等式は次のとおりです。

にとって $p,q \in (1,\infty)$$\frac 1 p + \frac 1 q = 1$、および $X \in \mathcal L^p(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ そして $Y \in L^q(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$、および $\mathcal F \subset \mathcal A$ サブ$\sigma$-代数、ほぼ確実に $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right] \leq \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/p}\mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right]^{1/q} $$

私はこの事実の多くの証拠を見つけましたが、私は特に通常の条件付き分布の定理を使用してそれを証明しようとしています:

しましょう $X$ 上の確率変数である $(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$ ボレル空間の値を持つ $(E,\mathcal E)$$\mathcal F \subset \mathcal A$ サブです$\sigma$-代数、および $\kappa_{X,\mathcal F}$ の定期的な条件付き分布 $X$ 与えられた $\mathcal F$。さらに、$f : E \to \mathbb R$ 測定可能であり、 $\mathbb E[|f(x)|] < \infty$。次に、$$ \mathbb E\left[f(x)\,|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_E f(x)\kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) \quad \textrm{for $\ mathbb P$-almost all $\ omega \ in \ Omega$}. $$

ヤングの不等式と単調性と条件付き期待値の線形性を適用すると、 $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) \leq \frac 1 p \mathbb E\left[|X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) + \frac 1 q \mathbb E\left[|Y|^q\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \frac 1 p \int |x|^p\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) + \frac 1 q \int |y|^q\kappa_{Y,\mathcal F}(\omega,dy) $$しかし、私はここから望ましい不平等に到達するのに苦労しています。あるいは、標準ヘルダーの不等式は私たちに与えます$\mathbb E\left[|XY|\right]<\infty$、したがって、上記の結果は $$ \mathbb E \left[ |XY|\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) = \int_{\mathbb R^2}|xy| \kappa_{X \times Y,\mathcal F}(\omega, dx dy) $$ しかし、これらのアプローチはどちらも、循環論法や、正式には存在しないと思われる手段を使用することにつながりました( $A \mapsto \mathbb P[A|\mathcal F](\omega)$ 固定用 $\omega\in\Omega$)。何か提案や他の場所を探しますか?

回答

1 DFord Aug 19 2020 at 23:49

しましょう $\pi_1, \pi_2 : \mathbb R^2 \to \mathbb R$ 予測である $\pi_1(x,y) = x$ そして $\pi_2(x,y) = y$。見せた後$\kappa_{X,\mathcal F}(\omega,\cdot) = (\pi_1)_*\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)$$$ \int_{\mathbb R^2}|x|^p\kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega, dx dy) = \int_{\mathbb R} |x|^p \kappa_{X,\mathcal F}(\omega, dx) = \mathbb E\left[ |X|^p\,\big|\,\mathcal F\right](\omega) $$ aeに対して有限である、通常の条件付き分布に関する引用結果による $\omega\in\Omega$。そう$|\pi_1| \in \mathcal L^p\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$、および同様に $|\pi_2| \in \mathcal L^q\left(\mathbb R^2, \mathcal B(\mathbb R^2), \kappa_{(X,Y),\mathcal F}(\omega,\cdot)\right)$、aeの場合 $\omega\in\Omega$。したがって、\ begin {align *} \ mathbb E \ left [| XY | \、\ big | \、\ mathcal F \ right](\ omega)&= \ int _ {\ mathbb R ^ 2} | xy | \ kappa _ {(X、Y)、\ mathcal F}(\ omega、dxdy)\\&\ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {通常の条件付き分布で引用された結果による;} \\&\ leq \ left(\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | x | ^ p \ kappa _ {(X、Y)、\ mathcal F}(\ omega、dxdy)\ right)^ {1 / p} \ left(\ int _ {\ mathbb R ^ 2} | y | ^ q \ kappa _ {(X、Y)、\ mathcal F}(\ omega、dxdy)\ right)^ {1 / q} \\&\ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {by the } \ left(\ mathbb R ^ 2、\ kappa _ {(X、Y)、\ mathcal F}(\ omega、\ cdot)\ right);に適用される標準ヘルダーの不等式 \\&= \ mathbb E \ left [| X | ^ p \、\ big | \、\ mathcal F \ right] ^ {1 / p}(\ omega)\ mathbb E \ left [| Y | ^ q \ 、\ big | \、\ mathcal F \ right] ^ {1 / q}(\ omega)\\&\ qquad \ qquad \ qquad \ textrm {引用された結果と、の画像測定プロパティの使用$\kappa_{X,\mathcal F}$ そして $\kappa_{Y,\mathcal F}$。} \ end {align *}

StephenMontgomery-Smith Aug 19 2020 at 06:12

から始めてみませんか $$\mathbb E \left[\frac{|X|}{\mathbb E[|X|^p|\mathcal F]^{1/p}} \frac{|Y|}{\mathbb E[|Y|^q|\mathcal F]^{1/q}} \Bigg | \mathcal F \right] ?$$

場合 $Z$ です $\mathcal F$ 測定可能、その後 $$ \mathbb E(f(X) Z | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \mathbb E(f(X) | \mathcal F)(\omega) = Z(\omega) \int_E f(x) \kappa_{X,\mathcal F}(\omega,dx) .$$

ゼロと無限大の問題を回避するには、最初にそれをに適用します $X_{\epsilon,N} = (|X| \vee \epsilon )\wedge N$、および同様に $Y$、そして $\epsilon \to 0+$、および $N \to \infty$

もちろん、最初に積に対するヤングの不等式を行う場合、通常の条件付き分布の導入は、目的を果たさない追加のステップです。

StephenMontgomery-Smith Aug 19 2020 at 07:39

繰り返しますが、私はあなたの質問に答えていません。しかし、これはコメントには大きすぎます。

標準のホルダーの不等式を証明するとき、実際には次の形式でヤングの不等式を使用します。 $x,y \ge 0$$\lambda > 0$ $$ xy \le (\lambda x) (\lambda^{-1} y) \le \tfrac1p \lambda^p x^p + \tfrac1q \lambda^{-q} y^q $$ そこからあなたは $$ E(|XY|) \le \tfrac1p \lambda^p E(|X|^p) + \tfrac1q \lambda^{-q} E(|Y^q|) . $$ 次に、次を使用します。 $A,B \ge 0$$$ \inf_{\lambda >0} \left(\tfrac1p \lambda^p A^p + \tfrac1q \lambda^{-q} B^q\right) = AB. $$ (これは、平等の条件をヤングの不等式に入れるだけです。)ホルダーの不等式の条件付き形式を証明する際に、最小値が引き継がれます。 $\lambda$ ポジティブ $\mathcal F$-可測関数。

しかし、これが言うことは、条件付き正規分布を使用したい場合は、実際には、上記で書いたヤングの不等式の形式を使用する必要があるということです。