包除原理に関する質問
今日、私は初めて包除原理に出くわしました。理解できたと思いますが、質問を解いてみるとひどく行き詰まりました。私はそれらのどれも解決できませんでした。手元のトピックをよく理解できるように、難易度を上げるためのいくつかの質問を提案していただけますか？質問の1つはこれです：https://math.stackexchange.com/questions/2765746/inclusion-exclusion-problem-sitting-arrangement 、それはギリシャのコンテスト数学の本にあり、私もこのサイトで見つけました。
インターネットで見つけられなかったもう1つの質問なので、翻訳します。
方程式の解の数を見つける $x_1+x_2+x_3=100$、すべての場合 $3\ge i\ge1$、xiは負でない整数です。 $40\ge x_i$。
私はこれらの質問の両方に対する解決策を見つけました。私もそれらを投稿する理由は、投稿の読者に（コメントで指摘されているように）どのレベルの質問が含まれているかをよりよく理解するためです-排除の原則は私に困難を与えています
回答
2番目の翻訳された質問は、実際には包含-除外を必要としません。それは非常に簡単に使用して行うことができますhttps://en.wikipedia.org/wiki/Stars_and_bars_(combinatorics)、これは学ぶ価値のある別のテクニックです（まだ行っていない場合）：
かきましょう $u_i=40-x_i$、制限が $u_i\ge0$、次に方程式を書き直して次のように解きます
$$u_1+u_2+u_3=20$$
（これは $100=x_1+x_2+x_3=(40-u_1)+(40-u_2)+(40-u_3)=120-(u_1+u_2+u_3)$、そして物を動かします。）星と棒は、非負のトリプルの数を合計すると次のようになります。 $20$ です
$${22\choose2}={22\cdot21\over2}=231$$
正直なところ、包除原理を使ってこの問題を解決するのは難しいと思います。簡単な方法があるかどうかを知りたいと思います。
これが2番目の問題の包除原理です。 $k$ の数です $i\in\{1,2,3\}$ と $x_i \ge 41$： \ begin {align} \ sum_ {k = 0} ^ 2（-1）^ k \ binom {3} {k} \ binom {100-41k + 3-1} {3-1}＆= \ binom { 102} {2} -3 \ binom {61} {2} + 3 \ binom {20} {2} \\＆= 5151-3 \ cdot 1830 + 3 \ cdot 190 \\＆= \ color {red} { 231}。\端{ALIGN}$$\binom{100-41k+3-1}{3-1}$$ 一部は、次の非負の整数解の星と棒の数に由来します。 $x_1+x_2+x_3=100$ と $x_i \ge 41$ ために $k$ 指定 $i\in\{1,2,3\}$、同等に、の非負の整数解 $y_1+y_2+y_3=100-41k$。