$u_t+(u(1-u))_x=a(1-2u)$、リーマン初期データを使用した交通流方程式の特性曲線法
非保存方程式を検討します $$u_t+(f(u))_x=af'(u)$$ どこ $a$ は定数であり、 $f(u)=u(1-u)$。
この方程式を初期条件の特性曲線法で解こうとしています $$u(x,0)=\begin{cases} u_l & x\leq0 \\ u_r & x>0 \\ \end{cases} $$ 特性曲線法により、私は $\displaystyle \frac{dt}{1}=\frac{dx}{1-2u}=\frac{du}{a(1-2u)}$、これは、特性方程式が $$\displaystyle \frac{dx}{dt}=1-2u$$ に加えて $\displaystyle \frac{du}{dx}=a, \displaystyle \frac{du}{dt}=a (1-2u).$
これらの方程式を解くと、私は $u(x,t)=ax+ g(t)$ どこ $g$ のいくつかの機能です $t$一人で。さらに先に進む方法がわかりません。
方程式ができたときにこれを解くことができました $$u_t+(f(u))_x=0$$ そこに $u$特性の線に沿って一定でした。助けてくれてありがとう。
回答
初期データに注意してください $u(x,0)$ からのジャンプの不連続性で構成されます $u_l$ に $u_r$したがって、この初期値問題はリーマン問題です。人気のあるLighthill-Witham-Richards（LWR）トラフィックフローモデルは、次の場合に回復します。$a=0$、および対応するリーマン解はこの投稿で説明されています。恣意的な場合に取り組みましょう$a$、たとえば、この投稿と同様のアプローチに従うことによって。設定$v = 1 - 2u$ PDEを提供します $$ v_t + vv_x = -2av $$ 特性曲線法がもたらすもの $v = c_1e^{-2at}$、 $\frac{v-c_1}{2a} = -x+c_2$ そして $$ v = f\!\left(x - v\,\frac{e^{2at}-1}{2a}\right) e^{-2at} \, , $$これは、@ Dmorenoによる回答にある解決策と同等です。ただし、不連続な初期データの場合、特性曲線法は十分ではありません（次の場合にのみ有効です）。$u$スムーズです）。したがって、弱い意味でこの問題を解決するために適切な方法を使用します。関連する投稿を参照してください。ここで、衝撃波の解決策を見つけます$$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< x_s(t) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> x_s(t) \end{aligned}\right. ,\qquad x_s(t) = \frac{v_l+v_r}{2}\frac{1-e^{-2at}}{2a} . $$ もし $v_l > v_r$、および希薄化波ソリューション $$ v(x,t) = \left\lbrace \begin{aligned} &v_le^{-2at} &&\text{if}\quad x< v_l (e^{-2at} - 1) \\ & \frac{x e^{-2at}}{e^{-2at} - 1} && \text{if}\quad v_l (e^{-2at} - 1)\leq x\leq v_r (e^{-2at} - 1) \\ &v_re^{-2at} &&\text{if}\quad x> v_r (e^{-2at} - 1) \end{aligned}\right. $$ もし $v_l < v_r$。同じ解決策を確認することができます$u = \frac{1-v}2$ 最初の偏微分方程式の問題に直接（変数を変更せずに）取り組むことによって得られます。
から $\mathrm{d}u/\mathrm{d}x = a$ あなたが得る $u - ax = c_1$、およびから $a\mathrm{d}t = \mathrm{d}u/(1-2u)$ あなたが得る $u = \frac{1}{2}(1-c_2 \mathrm{e}^{-2 at})$。しましょう$c_2 = f(c_1)$ の陰解を導出する $u$、方程式によって決定されます
$$ u = \frac{1}{2}\left[1-f(u - ax) \, \mathrm{e}^{-2 at}\right]$$
現在の課題は、決定することです $f$ 初期状態から、最終的に解決します $u$。ここから持っていってもらえますか？