上にある場合にのみ右逆
私は次の結果を証明しようとしています。
証明してください $f: X \to Y$それが右逆を持っている場合に限り、上にあります。次に、この逆関数が必ずしも一意ではないことを証明します(つまり、$f$ 単射ではありません)。
これが私が思いついたものですが、特に、独自性の欠如の私の「証拠」はそれほど厳密ではありません。
証明。仮定します$f: X \to Y$全射です。しましょう$y \in Y$、だから存在する $x \in X$ そのような $f(x) = y$。これが$x$ 一意ではない可能性があります。マッピングを定義します $g: Y \to X$ ルールによって $g(y) = x$、選択公理を使用します。そのようなもののために$y$ そのプロパティで $g(y) = x$、 我々は持っています: $$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = y, $$ そう $f \circ g = i_Y$、および $g$は右逆です。逆に、$f$ 右逆を持っています、 $g: Y \to X$ そのプロパティで $f \circ g = i_Y$。しましょう$y \in Y$。次に$g(y) = x$ いくつかのための $x \in X$。次に、それを観察します$$ (f \circ g)(y) = f(g(y)) = f(x) = i_Y (y) = y $$ そう $f$全射です。定義するために選択公理を呼び出す必要があるため、この右逆は一意ではありません$g(y) = x$ いくつかのための $x$。の場合$f$ 単射ではありません $y \in Y $、潜在的に無限に多くあります $x$ そのような $f(x) = y$、そして私たちは定義することができます $g(y)$ それらのxのいずれかに等しくなり、それぞれが等しく有効な右逆を与えます。
この証明はどのように見えますか?これは適切な選択の使用ですか?一意性の欠如の証明をより厳密にする方法はありますか?
前もって感謝します。
回答
証拠が私にかなりよく見える場合に限り、あなたの。ただし、非一意性の証明は少し薄っぺらです。
非一意性を証明するには、例で示すだけで十分です(ほとんどの場合は簡単です)。どんな例でも作ることができますが、これが私の頭に浮かんだ最初の例です。
仮定 $X=\mathbb{R}^2$ そして $Y=\mathbb{R}$ と $f:X\to Y$ であること $f(x,y)=x$。明らかに、この機能はオンになっています。次のマップを定義します$S_1:Y\to X$ 沿って $S_1(x)=(x,0)$。あなたにそれを納得させるのにそれほど時間はかからないはずです$f(S_1(x))=i_Y$。
さらに地図 $S_2:Y\to X$ によって定義されます $S_2(x)=(x,x)$ また与える $S_2(f(x))=i_Y$。だが$S_1\neq S_2$ したがって、同じではない(したがって、逆関数が一意である必要はない)目的の結果を生成する2つの関数があることを示しました。