埋め込まれたリボンと正則同位体
私は、カウフマンの1990年の論文「正則同位体の不変量」を読んでいます。これは、正則同位体として知られている、ライデマイスタータイプIIおよびIIIの移動のみによって同位体であるノットについてです。彼の論文は、正則同位体と埋め込まれたバンドの間に関係があると主張しています（$S^1 \times [0,1]$）で $S^3$。彼はBurde'sKnotsの教科書を参照していますが、Burdeのテキストが書かれた後、Kauffmanがそのフレーズを論文で作り出したようであるため、正則同位体についての言及は見つかりません。
ノットの正則同位体は、埋め込まれたバンドに対応すると思います。しかし、私が見落としている病状があるのではないかと心配しています。誰かが関係の正確な声明を持っていますか？
回答
どの結び目図からでも、「黒板フレーミング」を取ることで、フレーム化された結び目を得ることができます。ノットダイアグラムの正則同位体のポイントは、この黒板のフレーミングを保持することです。フレーム付きノットと埋め込みバンドは同じものであるため、正則同位体は、ノット図の黒板フレームに対応する埋め込みバンドも保持します。
私はこれがおそらく額装された結び目に関して、Burdeでより詳細に議論されていると思います。ジョーンズ多項式/チャーン・サイモンTQFTの発見後、人々はフレームノットにもっと興味を持つようになったと思うので、バードがフレームノットについてまったく議論していない可能性もあります。そして私は同意します：カウフマンは「正則同位体」という用語を作り出したと思うので、おそらくバードでは使用されていません。
これは答えというよりはコメントですが、お役に立てば幸いです。正則ホモトピーについては、はるかに古く、よく研究されている概念があります。しましょう$X$ そして $Y$ 滑らかな多様体であり、 $f,g\colon X \rightarrow Y$没頭する。次に$f$ そして $g$ 浸漬によってホモトピーである場合、通常はホモトピーです。
浸漬の通常のホモトピークラスに焦点を当てましょう $S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$。そのような没入感は、交差点の上下を忘れることによって結び目図から得られるものです。それを見るのは難しいことではありません$f,g\colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$ 横方向の自己交差を伴う定期的なホモトピー浸漬であり、 $f$ に変換することができます $g$ライデマイスターII / III移動の明らかな類似物のシーケンスによって。ただし、ループをきつく引っ張った瞬間に導関数が消えなければならないため、私が移動するライデマイスターの類似体を実行することはできません。したがって、これは通常のホモトピーではありません。
私の推測では、これがカウフマンが考えていたものだと思います。ちなみに、通常のホモトピークラスの浸漬$S^1 \rightarrow \mathbb{R}^2$完全に分類することができます。このような浸漬の導関数を取得し、導関数を単位長にするために再スケーリングすると、関連するマップが得られます。$S^1 \rightarrow S^1$。このマップの次数は没入度と呼ばれ、ホイットニー-グラウシュタインの定理は、この次数は完全に不変であると述べています。この定理は、Hirsch-Smale浸漬定理の初期の前兆であり、特別な場合の浸漬の場合です。$S^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 球を裏返しにするスメールの有名な「球の反転」が含まれています。
