USATST2013 / 2の交差点が $XL$ そして $KY$ にある $BC$。
しましょう $ABC$鋭角三角形になります。サークル$\omega_1$、直径付き $AC$、側面と交差します $BC$ で $F$ （以外 $C$）。サークル$\omega_2$、直径付き $BC$、側面と交差します $AC$ で $E$ （以外 $C$）。レイ$AF$ 交差する $\omega_2$ で $K$ そして $M$ と $AK < AM$。レイ$BE$ 交差する $\omega_1$ で $L$ そして $N$ と $BL < BN$。その行を証明する$AB$、 $ML$、 $NK$ 同時です
私の進歩：
主張：$K,M,L,N$ 循環的です
証明：しましょう$NM\cap KL=H$。ご了承ください$H$ の垂心になります $ABC$ 。
POPで、 $NH\cdot HM= CH\cdot CF=KH\cdot HL$。
主張：$C$ の中心です $(KMLN)$
証明：以来$CA$ は直径であり、の垂直二等分線としてCAがあります。 $LN$ 。
同様に $CB$ の垂直二等分線です $KM$ 。
さて、ABが極地であることを示したいだけです $H$ に関して $(KLMN)$。それからBrocardの定理によって、私はそれを知っています$NK\cap LM \in AB $。
回答
の極性を示すだけで十分です $H$ 通過する $A$ と同様 $B$。対称性により、の極性を示すだけで十分です。$H$ 通過する $A$ または同等に、の極性 $A$ 通過する $H$。
あなたはの極性を知っています $A$ に垂直です $AC$
それを観察する $$AC.AE=AK.AM= AC^2-r^2$$ どこ $r$ は円の半径です $KLMN$。
これを次のように書き直します $$AC^2-r^2= AC.(AC-EC)$$ $$ \implies AC.EC=r^2$$
したがって、 $A$ に関して $KLMN$ に垂直な線です $AC$ 通過します $E$。言い換えれば、それは線です$BE$ したがって、通過します $H$。
注：質問のラベルと図のラベルには、おそらく多少の違いがあります。私の答えは、図のラベル付けに従います。