和の極限の有限性について

Question

しましょう $U$ のドメインになる $\mathbb{C}^n$。しましょう$\alpha:U\times U\longrightarrow [0,\infty)$ 次のような性質を持つ連続関数である $\alpha(z,w)=\alpha(w,z)$ すべてのために $z,w\in U$ そして $\alpha(z,w)\leq \alpha(z,v)+ \alpha(v,z)$ すべてのために $z,w,v\in U$。

区分的に滑らかなパスが与えられます $\gamma:[a,b]\longrightarrow U$。どこ$\gamma(a)=z$ そして $\gamma(b)=w$。パーティションを取る$a=x_0\leq x_1 \leq x_2\cdots\leq x_n=b$。次に、満足のいく、より細かいパーティションを選択します$\sup_{1\leq i\leq n} x_i-x_{i-1}=\Delta\longrightarrow 0$。

今定義する $L_\alpha(\gamma)=\lim_{\Delta\longrightarrow 0} \sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))$。

それはの継続性によって言われています $\gamma$、 $L_\alpha$明確に定義されています。すべての有限パーティションの合計が有限であることは知っていますが、なぜ制限が有限になるのでしょうか。

Answer 1

制限は、次の場合でも無限になります $\gamma$アイデンティティマップです。確かに、$n=1$、 $U=\{z\in \Bbb C:|z|\le 1\}$、および $\alpha(z,w)=\sqrt{|z-w|}$ すべてのために $z,w\in U$。しましょう$a=-1$、 $b=1$ そして $\gamma(x)=x$ それぞれについて $x\in [-1,1]$。与えられた$n$、それぞれについて $i\in\{0,1,\dots,n\}$ 置く $x_i=2i/n-1$。次に$\sum_{i=1}^{n}\alpha(\gamma(x_i),\gamma(x_{i-1}))=\sqrt{2n},$ それは無限になりがちです $n$ 無限大になる傾向があります。