イェンセンの不等式がほぼきつい場合の偏差の確率

Dec 02 2020

これは、MathStackExchangeでまだ回答されていない質問へのクロスポストです。

https://math.stackexchange.com/questions/3906767/probability-of-a-deviation-when-jensen-s-inequality-is-almost-tight

しましょう $X>0$確率変数である。一部の人にとってはそれを知っていたとしましょう$\epsilon \geq 0$、\ begin {eqnarray} \ log（E [X]）\ leq E [\ log（X）] + \ epsilon \ tag {1} \ label {eq：primary} \ end {eqnarray}問題は次のとおりです。$\epsilon$小さくて、私たちは行きは良いを見つけることができます。\ begin {eqnarray *} P \左（\ログ（X）> E [\ログ（X）] + \イータ\右）\エンド{eqnarray *}与えられたため$\eta > 0$。次の方法で1つの境界を取得できます。\ begin {eqnarray *} P \ left（\ log（X）> E [\ log（X）] + \ eta \ right）＆=＆P \ left（X> \ exp（ E [\ log（X）] + \ eta）\ right）\\＆\ leq＆E [X] / \ exp（E [\ log（X）] + \ eta）\\＆=＆\ exp（\ log E [X] -E [\ log（X）]-\ eta）\\＆\ leq＆\ exp（\ epsilon- \ eta）\ end {eqnarray *}ここで、最初の不等式はマルコフの不等式に続きます。これは、指数関数的減衰のために良い限界のようです。$\eta$、しかし詳しく調べてみると、大幅に改善できるようです。私たちが持っている場合$\epsilon = 0$、次に、この境界は\ begin {eqnarray} P \ left（\ log（X）> E [\ log（X）] + \ eta \ right）＆\ leq＆\ exp（-\ eta）\ tag {2}を与えます。 \ label {eq：good_but_not_best} \ end {eqnarray}ただし、（\ ref {eq：primary}）に適用されるイェンセンの不等式から$\epsilon = 0$ 私達は手に入れました $\log(E[X]) = E[\log(X)]$ したがって $X$ほとんどどこでも一定です。結果として、$\eta>0$、\ begin {eqnarray *} P \ left（\ log（X）> E [\ log（X）] + \ eta \ right）= 0。\ end {eqnarray *}これは（もちろん）（もちろん）よりも無限に優れています\ ref {eq：good_but_not_best}）。

より良い境界は次のようにゼロに減衰するはずです。 $\epsilon$ 減衰し、理想的には指数関数的減衰を維持します $\eta$。助言がありますか？

（私はこの質問のバージョンが以前にイェンセンの不等式の定量的バージョンに尋ねられたことを知っていますか？）

回答

2 IosifPinelis Dec 02 2020 at 08:31

$\newcommand\ep\epsilon $しましょう $u:=\eta>0$、そのため、問題の確率は $P(\ln X>E\ln X+u)$。そこで置き換えても、この確率は変わらないことに注意してください$X$ 沿って $tX$ 本当の $t>0$。したがって、一般性を失うことなく、\ begin {equation *} E \ ln X = 0、\ tag {-1} \ end {equation *}、したがって条件（1）を\ begin {equation *} EX \として書き換えることができます。le e ^ \ ep、\ tag {0} \ end {equation *}の場合、問題の確率は\ begin {equation *} P（X> v）、\ end {equation *}に簡略化されます。ここで、\ begin {equation * } v：= e ^ u> 1。\ end {equation *}今すぐ取る$z\in(0,v)$ そしてすべての本当のために $x>0$せ
= AX-B \ LN X + C、\端{式*}：{式*} G（x）が始まる\ {式*}を開始\：=（Z）= \ FRAC {1 / V } {h（r）}、\ quad b：= b（z）：= az、\ quad c：= c（z）：= az \ ln \ frac ze、\ end {equation *} \ begin {equation * } h（r）：= 1-r + r \ ln r、\ quad r：= z / v \ in（0,1）。\ end {equation *}関数に注意してください$h$ 減少しています $(0,1)$、と $h(1-)=0$。そう、$h>0$ オン $(0,1)$ それゆえ $a>0$ そして $b>0$。だから、関数$g$ 上に凸です $(0,\infty)$。さらに、\ begin {equation *} g（z）= g '（z）= 0、\ quad g（v）= 1です。\ end {equation *}次のようになります$g(x)\ge1(x>v)$ すべての本物のために $x>0$したがって、（-1）と（0）を考慮すると、
\ begin {equation *} P（X> v）\ le Eg（X）= a \、EX + c \ le ae ^ \ ep + cとなります。\ tag {1} \ end {equation *}後者の式、$ae^\ep+c$、（1）で最小化できるようになりました $z\in(0,v)$、ランバートの観点から表現された最小化 $W$ 関数。

最適ではないが単純な選択 $z=1$（1）で\ begin {equation *} P（\ ln X> E \ ln X + u）= P（X> v）\ le \ frac {e ^ \ ep-1} {v-1- \ lnが得られますv} \ end {equation *}、したがって\ begin {equation *} P（\ ln X> E \ ln X + u）\ le B_ \ ep（u）：= \ min \ Big（1、\ frac {e ^ \ ep-1} {e ^ u-1-u} \ Big）。\ end {equation *}単純な上限$B_\ep(u)$ 必要なプロパティの両方があります。