用語：局所射有限群の滑らかな表現。

Question

しましょう $G$ 局所射有限群であること。

スムーズな表現は複雑な表現です（$V,\rho$）の $G$ そのような $v \in V$ 開いています。

それを示すことができます（として $\text{GL}_n(\mathbb{C})$ はリー群であり、NSS）、（有限次元）表現を持っています $G$ 継続的である場合に限り $\ker(\rho)$ 開いています。

したがって、有限次元では、連続表現はスムーズです。

さらに、 $$ \ker(\rho) = \cap_v \text{Stab}_G(v), $$ 右側の交点は有限次元の場合は有限と見なすことができます $V$、スムーズはまた、連続を意味します。したがって、これらは有限次元と同等です。

無限の次元はどうですか？どちらかがもう一方を意味しますか？

この用語の理由は何ですか？私が尋ねるのは、これらの影響がスムーズでなければならないということは継続的であることを意味し、必ずしもその逆ではないということを条件としているからです。

Answer 1

ここで連続とは地図を意味すると思います $P:G \times V \rightarrow V$Vが離散トポロジーであるとすると、は連続です。その場合、smoothは確かに連続を意味し、文字通り定義上（Pの下の単一ベクトルの逆像が開いていることを確認してください）

しかし、それはグループに依存するはずなので、私は反対側が正しいとは思いません。

Answer 2

既に $G=\mathbb Z_p$ に作用する $L^2(\mathbb Z_p)$ 翻訳による連続ですが、局所定数ではない関数を作成するのは簡単です。 $L^2(\mathbb Z_p)$。

また、滑らかなrepn空間が「トポロジーを持たない」または「離散トポロジーを持っている」と言うのは誤解を招きます。むしろ、それらは、有限次元部分空間の昇順和集合として表現されることから、共極限トポロジーを持っています。はい、そのような空間からのすべての線形マップは連続しています...そのため、トポロジに関する誤った発言が直接災害につながることはありません。:)

したがって、最良の場合、すべてのコンパクトオープンに対して $K$ に $G$、部分空間 $V^K$ の $K$-固定ベクトルは有限次元であり、 $V=\bigcup V^K$。これはそうではありません$V=L^2(\mathbb Z_p)$しかし、であるために、正しいです$V$ インクルード $K$-有限ベクトル。そういうもの。