誘導された双極重力場の相対重力時間の遅れの数値解法

Question

gravitoelectromagnetism、弱電界限界に一般相対性理論の近似は、アインシュタイン方程式はマクスウェル方程式に非常に類似した形態に簡略化。この分野では、従来の重力場は「重力電磁気」場と呼ばれ、変化することにより、磁場と同等の重力電磁気場を誘導することができます。逆に、重力磁場の変化は重力電場を誘発する可能性があります。

重要なことに、重力磁場によって誘発される重力場は、引力極と反発極の両方を備えた双極である可能性があります。これらすべてを念頭に置き、これらの場は非保存的であるため（誘導重力場の力線は誘導電場のように閉ループを形成する）、したがってニュートンポテンシャルに関する通常の議論は適用できません。

遠方の観測者に対して100gの双極重力場を生成しているトーラスの中心点から垂直に1メートル（反発側）に位置する観測者の相対的な重力時間の遅れは何ですか？具体的には、フィールドは反発するので、トーラスの近くにいるオブザーバーの時計は、遠くのオブザーバーに比べて速く刻みますか？

Answer 1

弱磁場近似の下で作業していると仮定すると、重力ポテンシャルは次の形式になります。 $$P=\frac{n\cos(\theta)}{r^2}$$ 縦軸に沿ったフィールドは次のとおりです。 $$g=\frac{2n}{r^3}$$ nの値を見つけるために、r = 1でg = 100という事実を使用します。 $$n=\frac{gr^3}{2}=\frac{100\cdot1^3}{2}=50$$ 重力の時間の遅れは、重力ポテンシャルに依存します。 $$t_d=e^{\frac{P}{c^2}}=e^{\frac{n\cos(\theta)}{c^2r^2}}=e^{\frac{50\cos(\theta)}{c^2r^2}}$$ ここで、その時点で時間が経過する速度を見つけます $$t_d=e^{\frac{50\cos(0)}{c^2\cdot1^2}}=e^{\frac{50}{c^2}}=e^{\frac{50}{299792458^2}}=e^{5.5632503\cdot10^{-16}}=1.0000000000000005563250280268093708358133869390635833174567871473...$$ご覧のとおり、この時点では、無限に離れた地点よりも少し速く時間が経過します。可能性を考えると$50\frac{m^2}{s^2}$、ここでは弱磁場近似が有効だと思います。