有限体の一意性 $p^n$要素。[複製]

Dec 25 2020

有限体が1つしかないことはよく知られています。 $p^n$ 同型までの要素、ここで $p$ 素数であり、 $n \geq 1$

しましょう $n = m t$、 どこ $m, t > 1$

次に $F = Z_p[X]/(f(X))$ のフィールドです $p^n$ 提供される要素 $f$ 既約次数の多項式です $n$$Z_p$

同様に、 $G = Z_p[X]/(g(X))$ のフィールドです $m$ 要素($g$ 既約次数 $m$)。次に$G$ 持っている $p^m$ 要素。

最後に: $H = G[X]/(h(X))$ どこ $h$ 次数の既約多項式です $t$ の係数 $G$

今、私の理解では $F$ そして $H$ 両方持っている $p^n$要素。だから私の質問は:

あります $F$ そして $H$ 同型?

回答

1 egreg Dec 25 2020 at 04:03

これは、フィールドの分割に関する一般的な事実に依存しています。

しましょう $F$ フィールドになり、 $f(X)\in F[X]$モニック多項式になります。拡張フィールド$K$$F$分解体です$f$ もし

  1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$$K[X]$ (ルーツは明確である必要はありません);
  2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

定理。 場合$K_1$ そして $K_2$ の分解体です $f(X)\in F[X]$、次にフィールド同型が存在します $\varphi\colon K_1\to K_2$ 去る $F$ ポイントごとに修正。

証明は長く、ガロア理論の基本的なツールであるため、ガロア理論に関するどの本にもあります。

ここで、多項式について考えます。 $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$、 どこ $\mathbb{F}_p$ それは $p$-要素フィールド(一意の同型まで一意)。

しましょう $K$ の分解体である $f(X)$。次に$f(X)$ 持っている $p^n$ の明確なルーツ $K$ (多項式の導関数は $-1$)。一方、の根のセット$f(X)$ のサブフィールドです $K$:確かに、 $a,b$ ルーツです、そして $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ そう $a+b$ のルートです $f$。同様に$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$逆数を確認するのは簡単です。以来$0$ そして $1$ 私たちがやったルーツです。

したがって、 $K$ のすべての根のセットは、$f$ したがって $|K|=p^n$

逆に、 $K$ のフィールドです $p^n$ 要素の場合、前と同じ引数はそれを示しています $X^{p^n}-X$ 持っている $p^n$ の明確なルーツ $K$、 そう $K$ の分解体です $f(X)$

同型を除いて一意性は、上記の定理から得られます。