有理関数の分野での計算。
Dummit and Foote 3 ed。、Chapter 14、Section 2、Exercise 30で、私は次のように尋ねられます。
しましょう $ k $ フィールドになり、 $ k(t) $ 変数の有理関数のフィールド $ t $。マップを定義する$ \sigma $ そして $ \tau \in Aut(k(t)/k) $ 沿って $$ \sigma f(t) = f \left( \frac{1}{1-t} \right) \quad \tau f(t) = f \left( \frac{1}{t} \right) $$ ために $ f(t) \in k(t) $。の固定フィールドが$ \langle \tau \rangle $ です $ k \left( t + \frac{1}{t} \right) $、の固定フィールド $ \langle \tau \sigma^2 \rangle $ です $ k(t(1-t)) $; の固定フィールドを決定します$ \langle \tau \sigma \rangle $ そして $ \langle \sigma \rangle $。
私が苦労しているこれの唯一の部分は、 $ \langle \sigma \rangle $。この固定フィールドを呼び出す$ E = k(s) $、 どこ $ s = P(t) / Q(t) \in k(t) $いくつかの有理関数です。 注、私はここで次のことを仮定しています$ E $ の形式です $ k(s) $、そしてこれまでのところ、これを先験的に正当化することはできません。前の章の前の演習で、次のことを示しました。$ [k(t) : k(s)] = \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} $、そう、以来 $ k(t)/k(s) $ ガロア拡大です（$k(s)$ 自己同型のサブグループの固定フィールドである）、私は期待します $$ \max \left\{ \deg P(t), \deg Q(t) \right\} = [k(t) : k(s)] = |\langle \sigma \rangle| = 3 $$ この時点で私が達成できたのは、コンピューターによるブルートフォース方程式の解法、設定だけでした。 $$ s = \frac{a_3 t^3 + a_2 t^2 + a_1 t + a_0}{b_3 t^3 + b_2 t^2 + b_1 t + b_0} $$ から生じる方程式を解く $ \sigma s = s $。それによって私は要素を見つけました$ s = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $。したがって、私はそれを結論付ける傾向があります$ k \left( \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} \right) $ の固定フィールドです $ \langle \sigma \rangle $。 このアプローチはエレガントではないと感じます。満足のいく不透明なコンピューター検索を回避するために使用した可能性のあるツールを知りたいと思います。
回答
ために $G$ の有限部分群 $Aut(k(t)/k)$ 固定サブフィールドは $k(t)^G=k(a_0(t),\ldots,a_{|G|-1}(t))$ どこ $\prod_{g\in |G|} (X-g(t))=\sum_{m=0}^{|G|} a_m(t) X^m$。
次に、一定でない係数を取ります $a_m(t)$、それぞれが $g(t) = \frac{e_g t+b_g}{c_g t+d_g}$ これはメビウス変換です $a_m(t)$ せいぜい $|G|$ 多重度でカウントされた極（ $\infty$）、したがって $[k(t):k(a_m(t))]\le |G|=[k(t):k(t)^G]$ これは、 $$k(t)^G=k(a_m(t))$$
OPによる編集：この問題の場合、テクニックは要素を生成します $ a_2(t) = \frac{t^3 - 3t + 1}{t(t-1)} $、コンピューター計算を具体化する。