有理数と無理数に関する前計算代数の問題。

Question

しましょう $ a, b $無理数である。私達はことを知っています$ a + b $、 $ a^3 + b^3 $ そして $ a^2 + b $ 合理的です。

私はそれを証明しました $ ab $、 $ a + b^2 $また、合理的です。私はいくつかの例を見つけようとしました：$ (1 - \sqrt{x}, 1 + \sqrt{x}) $、 $ (1 - \sqrt[3]{x}, 1 + \sqrt[3]{x}) $、 $ (1 - \sqrt[6]{x}, 1 + \sqrt[6]{x}) $、三角関数ですら。

Answer 1

取る $$(a,b)=\left(\frac{1+\sqrt{r}}{2},\frac{1-\sqrt{r}}{2}\right),$$ どこ $r\in\mathbb Q$、 $r>0$ そして $\sqrt{r}\in\mathbb R\setminus\mathbb Q$。