残差有限群のエピモルフィズムのシーケンスは安定します
しましょう $G_1 \to G_2 \to \cdots$有限生成残差有限群のエピモルフィズムのシーケンスである。最終的には安定しますか？つまり、有限を除いてすべてのエピモルフィズムは実際には同型ですか？
有限生成残差有限群はホプフィアンであるため、これはそれぞれの単純な反例を除外することに注意してください。 $G_i$ 固定されたグループであり、各エピモルフィズムはそれ自体に固定されたものです。
同様の結果は、グループが残りの自由群である場合にも当てはまります。これは、CharpentierGuirardelの「自由群の限界としての群の限界」の命題6.8です。証明は、残差自由群が残差であるという事実のみを使用します$SL_2(\mathbb{C})$、そしてそれぞれの場合に適応できるようです $G_i$ 残ります $GL_n(\mathbb{C})$ 固定用 $n$。これが一般的なresidaully有限群に当てはまる可能性は低いようです。Jordan-Schurの定理は、一般的な有限群の最小次数を意味します。$n$ それが埋め込まれるように $GL_n(\mathbb{C})$ 任意に大きくすることができます。
証明を適応させる別の方法はありますか？反例はありますか？
回答
答えはノーだ"。ランプライター群（無限に提示される）は、事実上自由群と全射準同型のシーケンスの限界です（たとえば、この質問と回答を参照してください）。すべての事実上自由群は残余的に有限です。
ドッドの答えと同じように、反例も2番目のホートングループから推測できます。 $H_2$、全単射のグループとして定義されます $L^{(0)} \to L^{(0)}$ これは、双無限線の頂点の有限ペアを除くすべての隣接性と非隣接性を保持します。 $L$。のプレゼンテーション$H_2$ です $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle$$ どこ $t$ 単位変換に対応し、 $\sigma_i$ 順列に $(i,i+1)$。次に、プレゼンテーションを切り捨てて定義します$G_n$ 経由 $$\left\langle \sigma_i (i \in \mathbb{Z}), t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ i \in \mathbb{Z} \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ n \geq |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ i \in \mathbb{Z} \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ i \in \mathbb{Z}} \right. \right\rangle.$$ 関係を使用することによって $t\sigma_it^{-1}=\sigma_{i+1}$ 発電機を取り除くために $\sigma_0,\sigma_{-1},\ldots$ そして $\sigma_{n+2},\sigma_{n+3},\ldots$、次のプレゼンテーションが見つかります $G_n$： $$\left\langle \sigma_1, \ldots, \sigma_{n+1}, t \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \array{\sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \\ t\sigma_it^{-1}= \sigma_{i+1}, \ 1 \leq i \leq n} \right. \right\rangle.$$ このプレゼンテーションから、次のことを確認してください。 $G_n$ のHNN拡張として分解します $$\left\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_{n+1} \left| \array{ \sigma_i^2=1, \ 1 \leq i \leq n+1 \\ [\sigma_i,\sigma_j]=1, \ |i-j| \geq 2}, \ \sigma_i\sigma_{i+1}\sigma_i= \sigma_{i+1}\sigma_i \sigma_{i+1} = 1, \ 1 \leq i \leq n \right. \right\rangle,$$ これは対称群と同型であることがわかります $\mathfrak{S}_{n+2}$、安定した文字が共役する場合 $\langle \sigma_1,\ldots, \sigma_n \rangle$ に $\langle \sigma_2, \ldots, \sigma_{n+1} \rangle$。したがって、有限群のHNN拡張として、$G_n$ 実質的に無料である必要があります。
結論は、正規の商がマップするということです $G_1 \twoheadrightarrow G_2 \twoheadrightarrow \cdots$ 安定化しない事実上自由群間の一連のエピモルフィズムを定義します。
備考：上記の議論をランプライター群とほぼ一語一語再現することにより$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ ホートングループの代わりに $H_2$同じ結論を提供します。その理由は、これらのグループが同様の構造を持っているためです。$C \rtimes \mathbb{Z}$ いくつかの局所的に有限のコクセター群のために $C$ どこ $\mathbb{Z}$ に作用する $C$ 定義するグラフの等長写像を介して $C$。（大まかに言えば、この形式の他のすべてのグループはから回復することができます$\mathbb{Z}_2 \wr \mathbb{Z}$ そして $H_2$、したがって、この方向に他の興味深い例はありません。）