全単射機能はありますか $f:[0,1] \to [0,1]$ そのようなのグラフ $f$ に $\mathbb{R}^2$ の密なサブセットです $[0,1] \times [0,1]$？
そこにある全単射機能 $f:[0,1] \to [0,1]$その結果、グラフの$f$ に $\mathbb{R}^2$の密なサブセットです$[0,1] \times [0,1]$？（タイトルとまったく同じ）。
同じ質問をするが機能については、質問はあまり影響を受けないと思います $f:(0,1) \to [0,1]$ または $f:[0,1) \to (0,1]$ などとは対照的に $f:[0,1] \to [0,1]$、元の質問にありました。本当に重要なのは、ドメインと範囲が制限され、接続されたサブセットであるということです。$\mathbb{R}^2$。
質問の答えはイエスだと思いますが、そのような関数を作成する方法がわかりません。
最初に注意することは、そのような関数が存在する場合、それはどこにも連続してはならないということです。そうでなければ、fのグラフはすべての全体で密ではありません。 $[0,1] \times [0,1]$。ただし、関数のグラフが完全に切断されたサブセットになるかどうかは明確ではありません。$[0,1] \times [0,1]$。
ディリクレの関数はグラフを接続できますか？
私は実際に上記の質問に対する回答を詳細に読んでいません。とにかく、ここで質問に回答することは適切ではないかもしれません（そうかもしれませんが）。
私の試み：
しましょう $f_{ Conway_{(0,1)} }:(0,1) \to \mathbb{R} $ことコンウェイベース-13の機能が、ドメインとに制限$(0,1)$。今定義する$f_{Conway_{(0,1)}bounded}(x) = \frac{1}{\pi} \arctan(f_{ Conway_{(0,1)} }(x)) + \frac{1}{2}$ ドメイン付き $(0,1)$ と範囲 $(0,1)$。次に、関数は明確に定義され、のグラフは$f_{Conway_{(0,1)}bounded}:(0,1) \to (0,1)$ の密なサブセットです $[0,1] \times [0,1]$。これで、関数を簡単に変更できます$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$ ドメインを持つように $[0,1]$ と範囲 $[0,1]$、そして私は読者がこれを行うことができると仮定し、簡潔にするために詳細を残します。しかし、要点は、ドメイン内のこれらの欠落している2つのポイントです。$0$ そして $1$、問題ありません。
問題は、私たちの関数が単射ではないということです。
のグラフからポイントを削除するだけでは質問に答えられないことに注意してください $f_{Conway_{(0,1)}bounded}$、その場合、ドメインから多くのポイントを削除することになります。したがって、これはドメインの関数ではありません。 $(0,1)$。だから多分賢いことをする$f_{Conway_{(0,1)}bounded}$、またはおそらく、質問に答えるための関数を構築するためのまったく異なる方法を考え出す必要があります。
回答
簡単にするために、 $[0,1]\times [0,1].$ 以下の「可算」という言葉は、「可算無限」を意味します。
補題：ペアワイズの互いに素なコレクションが存在します $\{D_n:n\in \mathbb N\}$ のサブセットの $(0,1)$ それぞれのように $D_n$ 可算で密度が高い $(0,1).$
証明： $p_1,p_2,\dots$素数になります。それぞれについて$n,$ 定義する $D_n$ 比率のセットになります $j/p_n^k,$ どこ $k\in \mathbb N,$ $1\le j < p_n^k,$ そして $j,p_n$互いに素です。ここでやめますが、よろしければ質問してください。
次に、オープン間隔の二重にインデックス付けされたコレクションを定義します $$I_{mk}=(\frac{k-1}{m},\frac{k}{m}),$$ どこ $m\in \mathbb N, 1\le k\le m.$ これらの間隔は次のように線形に並べ替えることができます。 $I_{11}, I_{21},I_{22},I_{31}, I_{32},I_{33},\dots$ この順序で、間隔を次のように簡単に示します。 $J_1,J_2,\dots.$
それぞれについて $n,$ セット $D_n\cap J_n$ の可算密サブセットです $J_n.$ コレクションに注意してください $\{D_n\cap J_n)\}$ ペアごとに素です。
今のために $n=1,\dots,$ 定義する $f:[0,1]\to [0,1]$ 定義することによって $f:J_n\cap D_n \to D_n$あなたが好きな全単射になること。完全な全単射を取得するには、次の点に注意してください。$[0,1]\setminus (\cup J_n\cap D_n)$ です $[0,1]$可算集合を引いたもの。そうです$[0,1]\setminus (\cup D_n).$ したがって、これらのセットのカーディナリティは $[0,1],$したがって、それらの間には全単射があります。しましょう$f$これらのセット間のこの全単射である。今$f$ からの完全な全単射です $[0,1]$ に $[0,1].$
密度を表示するには、 $(a,b)\times (c,d)\subset (0,1)\times (0,1).$ それからいくつかの大きな $n$ （現在修正済み）、 $J_n\cap D_n\subset (a,b).$ それ以来 $f(J_n\cap D_n)=D_n,$ の密なサブセット $(0,1),$ が存在します $x\in J_n\cap D_n$ そのような $f(x)\in (c,d).$ したがって、 $(x,f(x))\in (a,b)\times (c,d).$ これはのグラフを示しています $f$ で密集しています $[0,1]\times [0,1].$
はい、あなたができることは単射関数を構築することです $f:\mathbb Q \cap [0,1] \rightarrow \mathbb [0,1]$ グラフが密集している $[0,1] \times [0,1]$ 次に、のドメインを拡張します $f$ に $\mathbb [0,1]$ を作る方法で $f$ 全単射（これはあるので実行可能です $|\mathbb R | $ ポイント $[0,1]$ まだの画像にはありません $f$）。
たとえば、On $\mathbb Q \cap [0,1]$ あなたはさせることができます $$f \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\pi a^2}{b} \mod 1$$
S（x、n）=（2x + 1）/（2 ^（2n + 1））とします。
R（x、n）をfloor（x /（2 ^ n））+（2 ^ n）（x mod 2 ^ n）とします（非公式には、xの2進展開の2つの半分を交換します）。
S（x、n）= bとなるようなx、n（かなり些細なことですが一意でなければなりません）がある場合はf（b）= S（R（x、n）、n）とし、そうでない場合はbとします。
任意の「バイナリグリッドセル」、[a * 2 ^ -n、（a + 1）* 2 ^ -n] x [b * 2 ^ -n、（b + 1）* 2 ^ -n]について考えてみます。（S（a * 2 ^ n + b、n）、f（S（a * 2 ^ n + b、n））= S（b * 2 ^ n + a、n））はこのグリッドセルにあります。