象のランダムウォークの非マルコビアン性の具体的な反例
エレファントランダムウォークを検討してください $(S_n)_{n\in\mathbb{N}}$ によって定義されます $S_n:=X_1+\ldots+ X_n, n\in\mathbb{N},$ その増分 $X_k:=S_k-S_{k-1}$、 $k\ge 1$、は次のように再帰的に定義されます。
- の分布 $X_1$ によって与えられます $P(X_1=+1)=q\in(0,1)$ そして $ P(X_1=-1)=1-q$。
- その後いつでも $n\ge 2$、整数の時間インデックスをランダムに描画します $k\in\{1,\ldots, n-1\}$ 均一な確率で $X_n:=X_k$ 確率で $p$ そして $X_n:=-X_k$ 確率で $1-p$。
プロセスはで導入されました https://arxiv.org/pdf/cond-mat/0406593.pdfまた、この質問への回答でも参照されました：確率的非マルコフ過程の例？。
プロセスの非マルコビアン性を示すプロセスの軌跡の特定の反例を持っている人はいますか？これまで比較してみました$P(S_3=1|S_2=0)$、 $P(S_4=2|S_3=1)$、 $P(S_4=0|S_3=1)$、 $P(S_4=0|S_3=-1)$それぞれの可能な完全な軌道の条件付き確率で、反例を見つけることができませんでした。特に計算ミスの可能性を排除しないので、これ以上のアイデアに感謝します。
回答
私の知る限り、象のランダムウォークには非常に「非マルコフ連鎖」がありますが、実際にはマルコフ連鎖です。時間的に均一ではありませんが、マルコフ連鎖について話している多くの人々は均質性を前提としています。あれは、$$ \Pr[S_n = s_n \mid S_{n-1} = s_{n-1}, S_{n-2} = s_{n-2}, \dots, S_1 = s_1] = \Pr[S_n = s_n \mid S_{n-1} = s_{n-1}] $$ 可能なすべての軌道に対して $(s_1, s_2, \dots, s_n)$。ただし、$m \ne n$、 $$\Pr[S_n = x \mid S_{n-1} = y] \ne \Pr[S_m = x \mid S_{m-1} = y].$$
これが私の論理です。計算したい場合$\Pr[S_{n+1} = s+1 \mid S_n = s]$ （そして同様に $\Pr[S_{n+1} = s-1 \mid S_n = s]$、私たちがしなければならないのは、 $S_n = s$ に $n$ ステップ、 $\frac{n+s}{2}$ ステップの $+1$ そして $\frac{n-s}{2}$ ステップの $-1$。つまり、ランダムに選択すると$k \in \{1,2,\dots,n\}$、私たちは $\frac{n+s}{2n}$ 選ぶチャンス $k$ と $X_k = 1$ と $\frac{n-s}{2n}$ 選ぶチャンス $k$ と $X_k = -1$。全体的に、$$p \cdot \frac{n+s}{2n} + (1-p) \cdot \frac{n-s}{2n}$$ 選択してしまう可能性 $X_{n+1}=1$、したがって取得 $S_{n+1} = s+1$。
マルコフ連鎖の他の履歴の条件付けは関係ありません。どのステップがあったかを知ることができます。$+1$ そしてどれが $-1$、しかし、それぞれがいくつあるかはすでにわかっています。したがって、マルコフ性は実際には常に保持されます。
ただし、上記の式は $n$、だけでなく $s$。に着いたら$s$ できるだけ早い時期に $n=|s|$、私たちはすべて同じ方向に進んだ措置を講じたに違いないので、 $p$その方向に進むチャンス。に着いたら$s$ ずっと後で、そして $\frac{n+s}{2}$ そして $\frac{n-s}{2}$ 互いに近くなり、どちらの方向にも進む確率はに近くなります $\frac12$。
したがって、から行く一定の確率はありません$s$ に $s+1$ （またはから $s$ に $s-1$）、これは、マルコフ連鎖が時間的に均一である場合に必要なものです。