2 คำถามเกี่ยวกับแหวน $\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$
ฉันไม่สามารถตอบคำถามนี้ใน Ring Theory ได้ คำถามนี้ถูกถามในการสอบระดับปริญญาโทที่ฉันกำลังเตรียมอยู่
ปล่อย $A =\mathbb Q[X]/(X^{3}-1)$ .
(ก) พิสูจน์ว่า $A$ เป็นผลิตภัณฑ์โดยตรงของสองโดเมนหนึ่ง
(b) เป็นแหวน $A$ isomorphic ถึง $\mathbb Q[X]/(X^{3}+1)$เหรอ?
ฉันสามารถรู้ได้โดย $X^{3}-1$ ว่าตอนนี้องค์ประกอบจะเป็นอย่างไร $ax^2+bx+c$, $a,b,c$ เป็นของ $\mathbb{Q}$. แต่ฉันไม่มีเบาะแสผลิตภัณฑ์โดยตรงที่โดเมนหนึ่งจะสร้างวงแหวนนี้
สำหรับวันที่ 2 ฉันมีปัญหาในการกำหนดแผนที่เป็น $X^3$จะทำหน้าที่เป็น -1 ในวงแหวนรอบที่ 2 ฉันไม่คิดว่าแผนที่เหมือน$\phi( ax^2+bx+c )=px^2 +qx+r$ จะใช้งานได้เนื่องจากแผนที่นี้ไม่ใช่ $1-1$.
มีใครช่วยบอกได้ไหมว่าฉันควรจัดการกับปัญหาทั้งสองนี้อย่างไร
คำตอบ
คำแนะนำ :
(a) ใช้Chinese Remainder Theoremซึ่งบอกว่าสำหรับแหวน$A$ และอุดมคติ $\mathfrak a,\mathfrak b$ ของ $A$ ดังนั้น $\mathfrak a+\mathfrak b=(1)$, $A/\mathfrak{ab}\cong A/\mathfrak a\times A/\mathfrak b$. นอกจากนี้แหวนผลหาร$\mathbb Q[X]/(f(X))$ เป็นโดเมนอินทิกรัล iff $(f(X))$ เป็น iff ในอุดมคติที่สำคัญ $f(X)$ ไม่สามารถลดได้ (ตั้งแต่ $\mathbb Q[X]$ เป็น PID)
(b) ฉันอ้างสิทธิ์ $\mathbb Q[X]/(X^3+1)\to\mathbb Q[X]/(X^3-1):X\mapsto-X$คือ isomorphism ตรวจสอบสัจพจน์ทั้งหมดที่มีอยู่
(a) ตามที่ Kenta S ระบุไว้ตั้งแต่ $1=(x^2-x+1)+x(x-1)$ และ $(x^2-x+1)(x-1)=x^3-1$, เรามี $\langle x^2-x+1\rangle+\langle x-1\rangle=\mathbb Q[x]$ และอื่น ๆ $\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$โดย Chinese Remainder Theorem เห็นได้ชัดว่า$x^2-x+1$ และ $x-1$ไม่สามารถลดได้ ดังนั้น$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle$ และ $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle$ คือโดเมน
(b) เห็นได้ชัดว่า $\mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q\cong\mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle$. นอกจากนี้$\mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle$ โดย $x\to -x$. ดังนั้น$\mathbb Q[x]/\langle x^3-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2-x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x-1\rangle\cong \mathbb Q[x]/\langle x^2+x+1\rangle\times \mathbb Q[x]/\langle x+1\rangle\cong\mathbb Q[x]/\langle x^3+1\rangle$.