เหตุใดชุดนูนปิดจึงมีเส้นถ้าไม่มีจุดสุดขั้ว [ซ้ำ]
ปล่อย $A\subset\mathbb R^n$เป็นแบบปิดและนูน จุด$x\in A$ถูกกล่าวว่าเป็นจุดที่รุนแรงหากไม่สามารถแสดงเป็นจุดรวมนูนที่ไม่สำคัญใน$A$. ปล่อย$\operatorname{ext}A$ แสดงถึงชุดของจุดสูงสุดของ $A$.
ฉันสะดุดเมื่อสังเกตว่า "$A$มีเส้นก็ต่อเมื่อไม่มีจุดสุดขั้ว "(หน้า 37 ข้อสังเกต 1 ในHug and Weil (2010) pdf อยู่ที่นี่ )
ฉันจะเห็นว่าถ้า $A$ มีบรรทัด $L$จากนั้นก็ไม่สามารถมีคะแนนสูงสุดได้ แน่นอนให้ใด ๆ$x\notin L$แล้วปิด (ปิด) นูนของ $\{x\}\cup L$ ต้องเท่ากันทุกอย่างระหว่าง $L$ และเส้นคู่ขนานกับ $L$ ตัดกัน $x$และชุดดังกล่าวไม่มีคะแนนมาก ในทางเรขาคณิตจำนวนนี้เป็นการก่อสร้างต่อไปนี้:
$\qquad\qquad\qquad$
อย่างไรก็ตามฉันไม่แน่ใจว่าจะดำเนินการอย่างไรสำหรับทิศทางอื่น ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าถ้า$A$ ไม่มีเส้นจากนั้นจะต้องมีจุดสุดขั้วเป็นอย่างน้อย (หรือเทียบเท่ากันว่าการไม่มีจุดสุดขั้วหมายความว่ามีอย่างน้อยหนึ่งบรรทัดอยู่ใน $A$)?
คำตอบ
$A$จะต้องถือว่าไม่ว่างเปล่าแน่นอน จากนั้นเราสามารถใช้การเหนี่ยวนำกับมิติได้
ใน $\mathbb{R}^1$ชุดนูนปิดที่ไม่ว่างเปล่า $A$ ที่ไม่มีบรรทัดมีรูปแบบใดรูปแบบหนึ่ง $(-\infty, a]$, $[a, +\infty)$, หรือ $[a,b]$ (ด้วย $a \leqslant b$) และสำหรับสิ่งเหล่านี้ $a$ เป็นจุดสูงสุดของ $A$.
สำหรับขั้นตอนการเหนี่ยวนำให้ $x \in A$ และพิจารณาเส้นโดยพลการ $L$ ผ่าน $x$. ตั้งแต่$L \not\subset A$ มีประเด็น $y \in L\setminus A$. ปล่อย$s = \max \{ t \in [0,1] : x + t(y-x) \in A\}$ และ $z = x + s(y-x)$. จากนั้นมีไฮเปอร์เพลนที่รองรับสำหรับ$A$ ผ่าน $z$. สิ่งนี้มอบให้โดย$$ H = \{\xi : \langle \xi, \eta\rangle = \langle z, \eta\rangle\}$$ สำหรับบางคน $\eta \in \mathbb{R}^n$ ด้วย $\langle \eta, \eta\rangle = 1$. เราสามารถทำได้โดยไม่ต้องสูญเสียความคิดทั่วไปว่า$\langle \xi, \eta\rangle \leqslant \langle z, \eta\rangle$ เพื่อทุกสิ่ง $\xi \in A$.
ตอนนี้ $A_H = A \cap H$ คือชุดนูนปิดในไฮเปอร์เพลน $H$ (ซึ่งเราสามารถระบุได้ด้วย $\mathbb{R}^{n-1}$) ที่ไม่มีบรรทัดและไม่ว่างเปล่า (สำหรับ $z \in A_H$). โดยสมมติฐานการเหนี่ยวนำ$A_H$มีคะแนนมาก แต่เป็นจุดที่รุนแรงของ$A_H$ ยังเป็นจุดสูงสุดของ $A$สำหรับถ้าจุด $p$ ของ $A_H$ แสดงเป็นการรวมกันของจุดสองจุดของ $A$จากนั้นสองจุดนี้จะต้องอยู่ในนั้น $A_H$. ด้วยประการฉะนี้$A$ มีคะแนนมาก
ต่อไปนี้เป็นการเปลี่ยนคำตอบอีกครั้งเล็กน้อย
ฉันต้องการพิสูจน์ว่าปิดนูนไม่ว่างเปล่า $A\subset\mathbb R^n$ ซึ่งไม่มีเส้นเสมออย่างน้อยก็มีจุดสุดขั้ว
$\mathbb R^1$ กรณีเป็นเรื่องเล็กน้อย: เป็นไปได้เท่านั้น $A$ คือช่วงเวลาปิดที่ จำกัด หรือส่วนที่ไม่สิ้นสุดของแบบฟอร์ม $[a,\infty)$ และ $(-\infty,a]$. ดังนั้นให้เราถือว่าข้อความนั้นเป็นจริงสำหรับ$A\subset\mathbb R^{n-1}$.
ปล่อย $x\in A$ เป็นประเด็นตามอำเภอใจและปล่อยให้ $L$ เป็นเส้นผ่าน $x$. ด้วยประการฉะนี้$x\in L$และโดยสมมติฐาน $L\not\subset A$. จากนั้นจะมีบางส่วน$y\in L\setminus A$. ปล่อยแล้ว$z\in L\cap \operatorname{conv}(\{x,y\})$ เป็นองค์ประกอบบนขอบเขตของ $A$, ปล่อย $H$ เป็นไฮเปอร์เพลนที่รองรับสำหรับ $A$ ผ่าน $z$และพิจารณาชุด $A_H\equiv A\cap H$. นี่คือการแสดงการก่อสร้างนี้ใน$\mathbb R^2$:
ในกรณีง่ายๆนี้ $H$ ต้องเป็นเส้นและด้วยเหตุนี้ $A_H\subset\mathbb R^1$ มีจุดที่รุนแรงตามสมมติฐานการเหนี่ยวนำ (ในกรณีนี้โดยเฉพาะ $A_H=\{z\}$). ให้เป็นปกติมากกว่านี้,$A_H$ จะปิดนูนส่วนย่อยที่ไม่ว่างเปล่าของ $\mathbb R^{n-1}$และมีจุดที่รุนแรง
ตอนนี้เหลือเพียงการพิสูจน์ว่าเป็นจุดสูงสุดของ $A_H$ ยังเป็นจุดที่รุนแรงสำหรับ $A$. กล่าวอีกนัยหนึ่งเราต้องพิสูจน์ว่าถ้า$p\in A_H$ แล้ว $p\notin \operatorname{conv}(A\setminus A_H)$. สำหรับวัตถุประสงค์เราจำไว้ว่า$A_H$ ถูกกำหนดให้เป็นจุดตัดระหว่าง $A$ และไฮเปอร์เพลนซึ่งหมายความว่ามีบางอย่าง $\eta\in\mathbb R^n$ และ $\alpha\in\mathbb R$ เช่นนั้นการกำหนด $f(\xi)\equiv \langle \eta,\xi\rangle$, เรามี $f(\xi)\le \alpha$ เพื่อทุกสิ่ง $\xi\in A$และ $f(\xi)=\alpha$ เพื่อทุกสิ่ง $\xi\in A_H$.
แต่ถ้าอย่างนั้น $p\in A_H$ เป็นการรวมกันขององค์ประกอบของ $A$, $p=\sum_k \lambda_k a_k$ ด้วย $a_k\in A, \sum_k\lambda_k=1, \lambda_k\ge0$แล้ว $$\sum_k \lambda_k f(a_k) = f(p)= \alpha,$$ ซึ่งจะทำได้ก็ต่อเมื่อ $f(a_k)=\alpha$ เพื่อทุกสิ่ง $k$, เช่นถ้า$a_k\in A_H$.