การคำนวณที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่ซับซ้อน

Aug 16 2020

ฉันกำลังอ่านเอกสารประกอบการบรรยายเรื่องเรขาคณิตเชิงซ้อนและฉันติดอยู่ที่การคำนวณหนึ่ง (ดูเหมือนจะเป็นพื้นฐาน) ที่เกี่ยวข้องกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ที่ซับซ้อน สมมติ$X$ เป็นพื้นผิวที่ซับซ้อนและ $\omega$ เป็นรูปแบบโฮโลมอร์ฟิก (1,0) เช่น $\omega$ ถูกฆ่าโดยผู้ปฏิบัติงาน $\overline{\partial}$. ปล่อย$\overline{\omega}$เป็นรูปแบบคอนจูเกตที่สอดคล้องกัน (0,1) ผู้เขียนอ้างว่า

\ เริ่ม {สมการ *} d (\ โอเมก้า \ ลิ่ม \ overline {\ omega}) = d \ โอเมก้า \ wedge d \ overline {\ omega} \ end {สมการ *}

ตั้งแต่ตอนนี้ $\partial \omega = \overline{\overline{\partial} \overline{\omega}}$ด้านขวามือไม่มีอะไรนอกจาก $\partial{\omega} \wedge \overline{\partial} \overline{\omega}$. แต่ฉันไม่เห็นว่าด้านซ้ายมือสามารถเขียนในนิพจน์เดียวกันได้อย่างไร (โดยใช้กฎปกติสำหรับอนุพันธ์ภายนอก) ข้อมูลเชิงลึกใด ๆ จะได้รับการชื่นชม

คำตอบ

4 ArcticChar Aug 16 2020 at 07:27

LHS $d(\omega \wedge \overline\omega)$ เป็นสามรูปแบบในขณะที่ RHS $d\omega \wedge d\overline\omega$เป็นสี่รูปแบบ พวกเขาไม่เหมือนกัน

มองไปที่โน้ตพวกเขาเขียน

ตอนนี้โดย Stokes Theorem $\int d\omega \wedge d\overline\omega = 0$ (เพราะ $ d(\omega \wedge \overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega} $).

ฉันเชื่อว่ามันเป็นเพียงการพิมพ์ผิดและพวกเขาอาจหมายถึง $$d(\omega \wedge d\overline{\omega}) = d\omega \wedge d \overline{\omega}.$$