การมีอยู่ของข้อ จำกัด ที่ จำกัด ของโมดูลเสมือนที่เชื่อมโยงกันบนโครงร่าง
การกำหนดโมดูลกึ่งเชื่อมโยงกัน $\mathcal{M}$ ในโครงการ $X$ เป็นตระกูลโมดูลที่เข้ากันได้ $(\mathcal{M}(x))_{x \in X(A), A \in \textbf{Rings}}$(ดังที่นี่ ) มีวิธีที่ตรงไปตรงมาในการแสดงการมีอยู่ของขีด จำกัด (จำกัด ) (และเป็นหมวดหมู่อาเบล) หรือไม่?
แน่นอนวิธีหนึ่งที่เป็นไปได้คือการแสดงให้เห็นว่าคำจำกัดความนี้ก่อให้เกิดหมวดหมู่ที่เทียบเท่ากับหมวดหมู่ของโมดูลมัดที่เชื่อมโยงกันบนไซต์ Zariski ขนาดเล็กที่เกี่ยวข้องกับ $X$แต่นั่นให้ความรู้สึกเหมือนเป็นทางออกที่ค่อนข้างสกปรก
ฉันเดาว่าปัญหาคือการดึงกลับของมัดโมดูล (โดยทั่วไป) ไม่ได้เปลี่ยนไปใช้ขีด จำกัด ดังนั้นจึงไม่ได้กำหนดขีด จำกัด "fibrewise"; colimits ทำงานได้ดีด้วยเหตุผลนั้น
ข้อโต้แย้งอีกประการหนึ่งที่เพื่อนของฉันอธิบายให้ฉันฟังดูเหมือนจะเป็นเช่นนั้นโดยแสดงถึงหมวดหมู่โมดูลที่กำหนดไว้ข้างต้นเป็น $\textbf{Mod}(X)$หนึ่งมี
$$\textbf{Mod}(X) = \varprojlim_{A \in \textbf{Aff}/X} \textbf{Mod}(A)$$
ที่ไหน ($2$-) ขีด จำกัด ถูกนำมาใช้ในรูปแบบ $(2,1)$- หมวดหมู่ของหมวดหมู่ functors และ isomorphisms ตามธรรมชาติ
ตอนนี้ข้อโต้แย้งก็คือ $\textbf{Mod}(A)$ เป็นหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในท้องถิ่นขีด จำกัด (บางอย่าง?) ของหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในท้องถิ่นนั้นสามารถแสดงได้ในท้องถิ่นและหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในท้องถิ่นยอมรับขีด จำกัด โดยพลการ
ฉันยังคงสงสัยว่าจะไม่มีวิธีพื้นฐานมากกว่านี้ในการสร้างเมล็ดโดยตรงและผลิตภัณฑ์ที่ จำกัด ของโมดูลเมื่อกำหนดด้วยวิธีนี้หรือไม่
ขอขอบคุณทุกความคิด!
// แก้ไข: โอเคอีกวิธีหนึ่งดูเหมือนจะเป็นการแสดงให้เห็นก่อนว่าเราสามารถติดโมดูลกึ่งเชื่อมโยงกันตาม Zariski-coverings จากนั้นทำทุกอย่างในเครื่อง ฉันเดาว่าดีสำหรับฉัน แต่ฉันก็ยังสนใจที่จะเห็นข้อโต้แย้งพื้นฐานอื่น ๆ หากใครมี!
คำตอบ
นี่คือคำแถลงที่ชัดเจนที่กล่าวถึงในความคิดเห็น:
ปล่อย $C = \lim_i C_i$ จำกัด หมวดหมู่ด้วยการคาดการณ์ $\pi_i : C \to C_i$. ปล่อย$\{X_j\}_j$ เป็นแผนภาพใน $C$. ถ้าสำหรับทุกๆ$i$ แผนภาพที่เกิดขึ้น $\{\pi_i(X_j)\}_j$ ใน $C_i$ มีขีด จำกัด $X_i$และฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลง $C_i \to C_{i'}$ ส่ง $X_i \mapsto X_{i'}$ สำหรับทุก morphism $i \to i'$ ในหมวดหมู่การจัดทำดัชนีตามด้วยแผนภาพเดิม $\{X_j\}_j$ ใน $C$ ยอมรับขีด จำกัด $X$ ดังนั้น $\pi_i(X) = X_i$ สำหรับทุกๆ $i$.
ตัวอย่างเช่นถ้า $X$ เป็นรูปแบบแล้วกึ่งสอดคล้องกัน $O_X$- โมดูลสามารถกำหนดได้เช่นเดียวกับที่คุณทำยกเว้นว่าคุณต้องการแผนที่ $Spec(A) \to X$ ที่จะแช่ Zariski (ตั้งแต่ $X$เป็นโครงการ) จากนั้นฟังก์ชั่นการเปลี่ยนแปลงจะถูกดึงกลับไปพร้อมกับการแช่แบบเปิดซึ่งแน่นอนจึงรักษาข้อ จำกัด ที่ จำกัด ไว้
หรือโดยการสืบเชื้อสายคุณสามารถใช้หน้าปก Zariski ของ $X$ โดย Affines $U_i$แล้ว $Mod(X)$ จะมีค่า จำกัด $Mod(U_i)$และของทางแยก (คล้ายกับสภาพมัดทั่วไปยกเว้นว่าคุณต้องไปที่ทางแยก 3 ทางเนื่องจากเป็นฟ่อนหมวดหมู่) อีกครั้งคุณสามารถใช้อาร์กิวเมนต์เดียวกันเพื่อบอกว่าจะคำนวณขีด จำกัด ในไฟล์$U_i$ของ
ดังนั้นฉันจึงเป็นเพื่อนของเขียวชอุ่มที่เขาเคยถามคำถามนี้ในตอนแรกและฉันมีข้อกังวลบางอย่างโดยเฉพาะเพราะฉันให้คำตอบเดียวกับ Riza จากนั้นก็ตระหนักว่ามันให้คำตอบที่ไม่ถูกต้องหากคุณทำตามโครงสร้าง nLab โดยตรง ประเด็นก็คือต้องคำนวณขีด จำกัด ของแผนภาพในขีด จำกัด ก่อนตามจุดในขีด จำกัด ที่หละหลวมตามด้านบนจากนั้นคุณต้องใช้ coreflector เป็นขีด จำกัด จริง
ตัวอย่างเช่นถ้าฉันมีตารางคาร์ทีเซียนของหมวดหมู่ที่นำเสนอได้ในท้องถิ่น
$$\begin{matrix} P&\xrightarrow{f^\prime_!}&C_1\\ g^\prime_!\downarrow &\ulcorner&\downarrow g_!\\ C_2&\xrightarrow{f_!}&C_0 \end{matrix}$$
และแผนภาพ $d:D\to P$ฉันสามารถคำนวณได้ $P$ เป็นโคโลไลเซชันของขีด จำกัด ที่หละหลวมของแผนภาพนี้ (หมวดหมู่ของส่วนคาร์ทีเซียนที่ไม่จำเป็นของเส้นใยคาร์ทีเซียนที่เกี่ยวข้องในประเภทช่วง $\operatorname{Span}$). ขอแสดงถึงขีด จำกัด ที่หละหลวมโดย$L$. จากนั้นเรามีคำสั่ง$P\leftrightarrows L$ซึ่งเป็นตัวปรับด้านซ้าย $P\to L$ซื่อสัตย์อย่างเต็มที่ สิ่งนี้บอกเราว่าขีด จำกัด ใน$P$ คำนวณเป็นภาพภายใต้ coreflector $L\to P$ ของขีด จำกัด ใน $L$ซึ่งจริงๆแล้วเป็นขีด จำกัด แบบชี้ร่วมกับแผนที่ที่เชื่อมต่อ
$$g_! \lim (f^\prime_! \circ d)\to \lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow f_!\lim(g'_!\circ d).$$
ดังนั้นเพื่อสร้างขีด จำกัด ที่แท้จริงฉันต้องใช้ coreflector กับแผนภาพที่เป็นทางการนี้ (มองว่าเป็นวัตถุของขีด จำกัด ที่หละหลวม)
สิ่งนี้ทำให้คุณมีสูตรในการคำนวณขีด จำกัด ของแผนภาพดังกล่าวในขณะนี้ แต่การมีอยู่ของขีด จำกัด ที่แท้จริงเกิดขึ้นจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลิตภัณฑ์เส้นใยนี้สามารถนำเสนอได้ (รวมถึงสิ่งที่เกี่ยวกับผลิตภัณฑ์ตามอำเภอใจที่ยังคงมีอยู่)
เพื่อให้เสร็จสิ้นการทำงานตามตัวอย่าง coreflector จะให้ผลิตภัณฑ์ไฟเบอร์แก่คุณ $P$
$$ \lim(f^{\prime \ast}\lim (f^\prime_! \circ d)\to f^{\prime\ast}g^\ast\lim (g_! \circ f^\prime_! \circ d)=g^{\prime\ast}f^\ast\lim (f_! \circ g^\prime_! \circ d) \leftarrow g^{\prime\ast}\lim(g'_!\circ d)).$$
แต่เพื่อให้สูตรนี้มีความหมายก่อนอื่นคุณต้องรู้ขีด จำกัด นั้น $P$ มีอยู่จริงและนั่นเป็นเพราะ $\operatorname{Pr}^L$ ยอมรับข้อ จำกัด ที่เห็นด้วยกับขีด จำกัด ใน $\mathbf{Cat}$.
หมายเหตุ: ฉันเคยใช้รูปแบบการจัดหมวดหมู่สำหรับ adjoints ซ้ายและขวา (เสียงกรีดร้องล่างและดาวบนแทนที่จะเป็นดาวบนและดาวล่าง) ใน $\operatorname{Pr}^L$ มากกว่าการประชุมเชิงเรขาคณิตเชิงแอลเจโบรเพราะมันชัดเจนกว่าในกรณีนี้
แก้ไข: ดูเหมือนว่าคำถามของเขียวชอุ่มที่นี่จะแตกต่างจากคำถามที่เราพูดคุยเป็นการส่วนตัวเล็กน้อย ความผิดพลาดของฉัน. คำตอบของ Riza นั้นถูกต้องสำหรับผ้าคลุมแบบแบน (นี่คือทฤษฎีบท แต่ชัดเจนสำหรับการแช่แบบเปิดตามที่ต้องการ)