การพิสูจน์ชุดย่อยบางชุดเป็น CW Subcomplex

Question

ฉันมีปัญหากับรายละเอียดในการพิสูจน์จากAlgebraic Topologyของ Hatcher (ข้อเสนอ A.1 ในหน้า 520 สำหรับผู้ที่สนใจแม้ว่าฉันจะไม่คิดว่ามันเกี่ยวข้องก็ตาม): เรามี CW complex$X$ และ $n$- เซลล์ $e_\alpha^n \subset X$และรูปภาพของแผนผังที่แนบของเซลล์นี้อยู่ในคอมเพล็กซ์ จำกัด $A \subset X$. แฮทเชอร์อ้างว่า$A \cup e_\alpha^n$เป็น subcomplex จำกัด แต่ฉันมีปัญหาในการหาสาเหตุ ฉันพยายามแสดงให้เห็นว่าขอบเขตของ$e_\alpha^n$ มีอยู่ใน $A$แต่ฉันไม่ได้ไปไหน โดยทั่วไปแล้วการปิดไฟล์$n$- เซลล์เป็นสหภาพที่มีรูปแผนที่แนบหรือไม่?

แก้ไข: ฉันต้องการพิสูจน์สิ่งนี้โดยไม่เรียกร้องความจริงที่ว่าคอมเพล็กซ์ CW คือ Hausdorff เนื่องจากหนังสือเล่มนี้ยังไม่ได้พิสูจน์

Answer 1

มันง่ายมากที่จะแสดง CW-complex คือ Hausdorff รวมไว้ในหลักฐานของคุณหากคุณกังวลเกี่ยวกับเรื่องนี้

ด้วยความจริงนี้การปิดเซลล์ที่เปิดอยู่ $e \rightarrow X$ เป็นภาพของ $e \cup S^n \rightarrow X$กำหนดโดยการรวมเซลล์เปิดและแผนผังลักษณะบนขอบเขต นี้เป็นเพราะ$e \cup S^n = D^{n+1}$มีขนาดกะทัดรัดและภาพของชุดขนาดกะทัดรัดมีขนาดกะทัดรัดซึ่งในพื้นที่ Hausdorff หมายถึงการปิด นี่คือชุดปิดที่เล็กที่สุดที่มีภาพของ$e$ เนื่องจากจุดใด ๆ ในภาพของแผนที่ลักษณะเฉพาะนั้นอยู่ในขอบเขตของภาพ $e$.