การพิสูจน์ฟังก์ชันแกมมาและเบต้า
เบต้าฟังก์ชั่นจะถูกกำหนดโดยการหนึ่ง$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1x^{\alpha-1}(1-x)^{\beta-1}\,{\rm d}x~~~~(\operatorname{Re}\alpha,\operatorname{Re}\beta>0)$$ โดยการประเมิน $\int_0^\infty\int_0^\infty x^{\alpha-1}e^{-x}y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}x\,{\rm d}y$ แสดงให้เห็นว่า $$\Gamma(a)\Gamma(\beta)=\Gamma(\alpha+\beta)B(\alpha,\beta)$$
ฉันมีหลักฐานความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันแกมมาและฟังก์ชันเบต้า แต่หลังจากที่คุณแทนที่ครั้งแรกและสลับอินทิกรัลทำไมฟังก์ชันจึงกลายเป็น $x^{\alpha+\beta-1}$ หลังจากหวี $x^{\alpha-1}$ และ $x^{\beta-1}$ ไม่ควร $x^{\alpha+\beta-2}$เหรอ?
$$\begin{align*} \Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)&=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty y^{\color{blue}{\beta-1}}e^{-y}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x\\ &=\int_0^\infty x^{\color{blue}{\alpha+\beta-1}}e^{-x}\left(\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}y\right)\,{\rm d}x&&(\text{put } y=tx)\\ &=\int_0^\infty t^{\beta-1}\left(\int_0^\infty x^{\alpha+\beta-1}e^{-(t+1)x}\,{\rm d}x\right)\,{\rm d}t\\ &=\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\left(\int_0^\infty u^{\alpha+\beta-1}e^{-u}\,{\rm d}u\right)\,{\rm d}t&&\left(\text{put }x=\frac u{1+t}\right)\\ &=\Gamma(\alpha+\beta)\int_0^\infty\frac{t^{\beta-1}}{(1+t)^{\alpha+\beta}}\,{\rm d}t \end{align*}$$
คำตอบ
ลองตรวจสอบรายละเอียดเพิ่มเติมในบรรทัดสำคัญ การทดแทน$y=tx$ ให้ $$\int_0^\infty y^{\beta-1}e^{-y}\,{\rm d}y\stackrel{y=tx}=\int_0^\infty(tx)^{\beta-1}e^{-tx}\color{red}{x}\,{\rm d}t=x^{\beta}\int_0^\infty t^{\beta-1}e^{-tx}\,{\rm d}t$$ อย่างที่คุณเห็นเรามี $x^{\beta-1}\cdot x=x^\beta$ จากที่เพิ่มเติม $-1$หายไป นั่นคือทั้งหมด
ฉันคิดว่ามันง่ายกว่าถ้าคุณทำโดยใช้เรื่องราวแทนที่จะทำอินทิกรัลที่ซับซ้อน ลองนึกภาพการแจกแจงแกมมาสองครั้ง$X \sim Gamma(a, \lambda)$ และ $Y \sim Gamma(b, \lambda)$.
ใช้สองสิ่งนี้คำนวณข้อต่อ $f_{T,W}(t,w)$ การกระจายของ:
$T = X + Y$ และ $W = \frac{X}{X+Y}$.
ลองนึกภาพเสมียน 2 คนทำงานที่ธนาคารทั้งคู่ทำงานในอัตราเดียวกัน $\lambda$. T คือเวลารอทั้งหมดสำหรับบุคคลที่ต้องจัดการกับเสมียนทั้งสองในขณะที่ W คือเศษส่วนของบุคคลที่รอเสมียนคนแรก
จากการแจกแจงร่วมจะเห็นได้ชัดว่านี่คือผลคูณของการแจกแจงแบบไม่ระบุสองตัวซึ่งค่าหนึ่งคือ $Beta$. นอกจากนี้ยังจำง่ายกว่ามาก