การสร้างกลุ่มใหม่จากหมวดหมู่ของ $G-\mathbf{Sets}$; การสร้าง Group Homomorphism [ซ้ำกัน]

Dec 30 2020

ฉันพยายามหาข้อพิสูจน์ของข้อความต่อไปนี้ แต่ฉันพบว่ามันยากนิดหน่อย ฉันหวังว่าฉันจะได้รับความช่วยเหลือจากใครบางคนในไซต์นี้ ฉันคิดว่านี่คือสิ่งที่พวกเขาให้ข้อพิสูจน์ใน Ncatlab - Tannakian Duality (ที่ส่วน$G-\mathbf{Sets}$). แต่ฉันไม่สามารถทำตามข้อพิสูจน์นั้นได้:https://ncatlab.org/nlab/show/Tannaka+duality#ForPermutationRepresentations.

คำให้การ. ปล่อย$F:G-\mathbf{Sets}\to\mathbf{Sets}$ เป็นคนขี้ลืมที่ไหน $G-\mathbf{Sets}$ คือหมวดหมู่ของชุดที่มีการดำเนินการแบบกลุ่มโดยกลุ่ม $G$. ฉันพยายามทำความเข้าใจข้อพิสูจน์ของข้อเท็จจริงต่อไปนี้$$\operatorname{Aut}(F)\cong G.$$

สิ่งที่ฉันได้ทำ

ฉันจัดการสร้างแผนที่แล้ว $$\varphi:G\to\operatorname{Aut}(F)$$ สิ่งนี้ทำได้โดยกฎต่อไปนี้ $\varphi(g)=\eta^g$, ที่ไหน $\eta_S^g:S\to S$ ถูกกำหนดโดย $\eta_S^g(s)=s\cdot g$. เป็นเรื่องง่ายที่จะตรวจสอบว่าสิ่งนี้ทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ$F$ ถึง $F$ และมันก็เป็น homomorphism แบบกลุ่มด้วย

อย่างไรก็ตามวิธีอื่นเป็นปัญหาสำหรับฉันมากกว่า ฉันต้องการหาแผนที่$$\psi:\operatorname{Aut}(F)\to G.$$ นั่นคือได้รับการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ $\eta$ฉันต้องการกำหนดให้กับองค์ประกอบกลุ่ม $g\in G$.

การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ $\eta$ ถูกกำหนดโดยแผนภาพการสับเปลี่ยนต่อไปนี้ $\require{AMScd}$ $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} F(X) & \ra{\eta_X} & F(X) \\ \da{F(f)} & & \da{F(f)} \\ F(Y) & \ra{\eta_Y} & F(Y) & \\ \end{array} $$ ที่ไหน $\eta_X$ เป็น morphism ใน $\mathbf{Sets}$ และ $f:X \to Y$ เป็น morphism ในหมวดหมู่ $G-\mathbf{Sets}$. ตั้งแต่$F$ เป็นเพียงตัวตลกที่หลงลืมแผนภาพด้านบนจะลดเป็น $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} X & \ra{\eta_X} & X \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

ข้อกังวลและคำถาม

ในคำจำกัดความของการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ - ฉันได้รับสิ่งนั้น $G-\text{Set}$ $X$, $\eta_X:F(X)\to F(X)$เป็น morphism เป็นธรรมชาติ$G-\text{Set}$ เป็นเพียงการใช้ $X=G$ และปล่อยให้มันดำเนินการเองผ่านโครงสร้างกลุ่ม: $$\varphi: G\times G\to G \\ (g,s)\mapsto g\cdot s.$$ ดังนั้นแผนภาพการเปลี่ยนทิศทางจึงกลายเป็น $$ \newcommand{\ra}[1]{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\xrightarrow{\quad#1\quad}\!\!\!\!\!\!\!\!} \newcommand{\da}[1]{\left\downarrow{\scriptstyle#1}\vphantom{\displaystyle\int_0^1}\right.} % \begin{array}{llllllllllll} G & \ra{\eta_G} & G \\ \da{f} & & \da{f} \\ Y & \ra{\eta_Y} & Y & \\ \end{array} $$

ข้อสังเกต 1.ฉันจำได้ว่าศาสตราจารย์ท่านหนึ่งบอกว่ามีมอร์ฟีน$\eta_G$ เข้าใจโดยสิ้นเชิงว่ามันทำอะไรกับองค์ประกอบประจำตัว $e\in G$ (ซึ่งฉันควรจะเข้าใจวิธีสร้างโฮโมมอร์ฟิสซึมของกลุ่ม) $$e\mapsto \eta_G(e).$$

ฉันไม่เข้าใจจริงๆว่าข้างบนหมายถึงอะไร ฉันคิดว่าฉันเข้าใจผิดบางอย่างเกี่ยวกับคนขี้ลืม เมื่อฉันคิดถึงคนขี้ลืม$F:A\to B$, ฉันคิดว่า functor ลืมทุกอย่างที่มีอยู่ $A$แต่ไม่มีอยู่ใน $B$. ในกรณีของเรามันลืมโครงสร้างของการกระทำแบบกลุ่ม ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่สามารถใช้คุณสมบัติของการเป็น$G$- แผนที่เทียบเคียง เฉพาะคุณสมบัติของการเป็นแผนที่เซต - ทฤษฎี

คำถามที่ 1.

ถ้า $\eta_G(e)=s$และถ้าฉันต้องการทำความเข้าใจกับสิ่งที่ศาสตราจารย์บอกฉันฉันคิดว่าฉันจะให้เหตุผลดังนี้ $$\eta_G(g)=\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)=s\eta_G(g).$$โดยที่ฉันในความเท่าเทียมกันครั้งที่สองใช้คุณสมบัติของการเป็น homomorphism แบบกลุ่ม แต่ในทางกลับกันถ้าฉันต้องการที่จะถือว่ามันเป็นโฮโมมอร์ฟิสซึ่มฉันคิดว่าฉันต้องเริ่มต้นด้วย นั่นคือ,$\eta_G$ต้องแมปอัตลักษณ์กับอัตลักษณ์ (เพื่อให้สอดคล้องกันในเหตุผลของฉัน) ดังนั้นฉันคิดว่าการโต้แย้งของฉันล้มเหลว

คำถามของฉันคือเขาหมายถึงอะไร?

ฉันไม่คิดว่าสิ่งที่ฉันทำข้างต้นนั้นสมเหตุสมผล แต่ฉันคิดว่าฉันเคยเห็นคนอื่นใช้คุณสมบัติของ morphisms ในหมวดหมู่$A$หลังจากใช้ functor ที่หลงลืมแล้วจึงมีเหตุผลของฉัน อีกครั้งฉันไม่แน่ใจจริงๆว่าฉันกำลังทำอะไรอยู่ ดังนั้นฉันอาจจะผิด

คำถาม 2.สิ่งนี้บอกได้อย่างไรว่าจะจัดทำแผนที่การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติได้อย่างไร?

รับ $\eta\in\operatorname{Aut}(F)$ฉันจะทำแผนที่ได้ที่ไหน ฉันทำแผนที่ดังต่อไปนี้$$\eta\mapsto \eta_G(e)?$$ ทำเช่นนั้นฉันรู้หรือไม่ว่าฉันได้บอกอย่างละเอียดถี่ถ้วนแล้วว่าจะจัดทำแผนที่การเปลี่ยนแปลงทางธรรมชาติทั้งหมดได้ที่ไหน

คำถามที่ 3ฉันเดาว่าฉันต้องใช้แผนภาพสับเปลี่ยนในนิยามของการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติเมื่อฉันสร้างโฮโมมอร์ฟิสซึ่มซึ่งฉันยังไม่ได้ทำ? ฉันเดาว่าคำแนะนำของฉันข้างต้นไม่ใช่วิธีที่ถูกต้องในการทำ คุณมีความคิดว่าฉันจะสร้างแผนที่ได้อย่างไร?

ฉันจะดีใจมากที่ได้รับความช่วยเหลือจากใครบางคนในไซต์นี้เพื่อให้เข้าใจเรื่องนี้ดีขึ้น เพราะฉันหลงทางและสับสนจริงๆ

ด้วยความปรารถนาดี

โจเอล

คำตอบ

2 runway44 Dec 30 2020 at 09:10

ฉันจะใช้ซ้าย $G$- ชุดไม่ถูกต้อง

คำถามที่ 1 และ 3 .

คุณไม่สามารถเขียน $\eta_G(e\cdot g)=\eta_G(e)\eta_G(g)$เราไม่ได้ทะลึ่ง $\eta_G:G\to G$ เป็น homomorphism เฉพาะกลุ่มเท่านั้นที่เป็น morphism ของ $G$- ชุด คุณสามารถที่จะพูด$\eta_G(g\cdot e)=g\cdot\eta_G(e)$ แม้ว่า (ซึ่งคุณจะกลับลำดับหากคุณยืนยันในการกระทำของกลุ่มที่ถูกต้อง)

พิจารณาแผนภาพการสับเปลี่ยนของคุณอีกครั้ง:

$$\require{AMScd} \begin{CD} G @>{\eta_G}>> G \\ @VVV @VVV \\ Y @>{\eta_Y}>> Y \end{CD}$$

ที่นี่เราสามารถปล่อยให้แผนที่ $G\to Y$ เป็นผู้ประเมินที่ -$y$ แผนที่ $g\mapsto gy$ ที่ไหน $y\in Y$ ได้รับการแก้ไขแล้ว (โปรดทราบว่าแผนผังการประเมินยังมีประโยชน์ในการสร้างทฤษฎีบทโคลงวงโคจร - เส้นใยของมันคือโคเซตของ $y$ของโคลง). จากนั้นเราไล่ตามแผนภาพโดยเริ่มจาก$e\in G$ ที่ด้านซ้ายบน

ถ้าเราเดินตามเส้นทางขวาบนเราจะได้ $e\mapsto \eta_G(e)\mapsto \eta_G(e)y$. ในเส้นทางล่างซ้าย$e\mapsto y\mapsto \eta_Y(y)$. ดังนั้นเราอาจถือเอา$\eta_Y(g):=\eta_G(e)y$. นั่นคือระบบอัตโนมัติทุกอย่าง$\eta$ นำไปใช้กับไฟล์ $G$- ชุด $Y$ เป็นเพียงการใช้องค์ประกอบของกลุ่มเฉพาะ $\eta_G(e)\in G$.