ความเท่าเทียมกันระหว่างสองคำจำกัดความของหมวดหมู่ที่มีวัตถุเลขชี้กำลัง
หมวดหมู่ที่มีผลิตภัณฑ์กล่าวกันว่ามีเลขชี้กำลังสำหรับวัตถุทั้งหมด$x, y$ มีวัตถุอยู่ $y^x$ ติดตั้งลูกศร $e\colon x\times y^x\to y$ เช่นนั้นสำหรับวัตถุทั้งหมด $z$ และลูกศรทั้งหมด $f\colon x\times z\to y$ มีลูกศรที่เป็นเอกลักษณ์ $\bar{f}\colon z\to y^x$ น่าพอใจ $e\circ (id_x\times\bar{f})=f$.
ฉันเห็นว่าหากหมวดหมู่หนึ่งมีเลขชี้กำลัง $f\mapsto \bar{f}$ เป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติระหว่าง $hom(x\times z, y)$ และ $hom(z, y^x)$ ด้วยผกผัน $\bar{f}\mapsto id_x\times\bar{f}$. ดังนั้น functor$x\times (-)$ อยู่ติดกับ $(-)^x$.
ฉันสงสัยเกี่ยวกับการสนทนา: ถ้า $C$ เป็นหมวดหมู่ที่มีผลิตภัณฑ์ดังกล่าว $x\times (-)$ มีการปรับที่ถูกต้องเป็นไปตามนั้น $C$ มีเลขชี้กำลัง?
โดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้าเราสมมติว่า $x\times (-)$ มี adjoint ที่ถูกต้องเราจะจัดให้ได้อย่างไร $y^x$ ด้วยลูกศร $e\colon x\times y^x\to y$. นอกจากนี้เราจะอนุมานสมการนั้นได้อย่างไร$e\circ (id_x\times\bar{f})=f$ จับแม่น?
อย่างไรก็ตามการดำรงอยู่ของการปรับแต่งที่ถูกต้องของ $x\times (-)$ รู้สึกอ่อนแอและเป็นนามธรรมมากกว่านิยามคุณสมบัติสากลของหมวดหมู่ที่มีเลขชี้กำลังที่ระบุไว้ข้างต้น
คำตอบ
ฉันคิดว่าคนหนึ่งต้องการ AC เพื่อเลือกวัตถุ $y^x$ แต่ละ $x$ และ $y$.
ยอมรับสิ่งนี้หนึ่งได้รับลูกศร $e$จากระเบียบของหน่วย / หน่วยในการเสริม ถ้า$F$ เป็นผู้ตัดสินที่ถูกต้องของ $x\times(-)$ ตามธรรมชาติแล้ว $$\text{hom}(a,Fy)\cong\text{hom}(x\times a,y).$$ ใช้ $a=Fy$. แล้ว$$\text{hom}(Fy,Fy)\cong\text{hom}(x\times Fy,y).$$ เอกลักษณ์บนแผนที่ด้านซ้ายกับ homomorphism $e:x\times Fy\to y$ทางขวา. เรากำลังแสดงถึง$Fy$ เช่น $y^x$, และนี่ $e:x\times y^x\to y$ คือแผนที่เลขชี้กำลัง