ข้อสงสัยเกี่ยวกับการพิสูจน์ Moser Iteration ในหนังสือของ Gilbarg & Trudinger

Question

ฉันกำลังอ่าน Theorem 8.15 เกี่ยวกับ Moser Iteration ในเอกสารของ Gilbarg และ Trudinger ฉันเข้าใจขั้นตอนทั้งหมดของการพิสูจน์ แต่ฉันมีข้อสงสัยต่อไปนี้ซึ่งไม่สามารถเคลียร์ได้ด้วยการอ่านอย่างรอบคอบ

1. ผู้เขียนเป็นสมมติฐานสำหรับทฤษฎีบทต้องการสิ่งนั้น $f^i\in L^q(\Omega)$, $i=1,\ldots,n$ และ $g\in L^{q/2}(\Omega)$ สำหรับบางคน $q>n$ แต่ดูเหมือนว่าพวกเขาไม่ได้ใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้ในการพิสูจน์: เป็นเช่นนั้นหรือไม่ถ้าไม่ใช้ข้อเท็จจริงเหล่านี้ในขั้นตอนใด

2. ทฤษฎีบทล้มเหลวสำหรับ $q\le n$เหรอ?

โปรดช่วยให้ฉันเข้าใจข้อพิสูจน์นี้อย่างถ่องแท้

ที่นี่ฉันได้อัปโหลดภาพรวมของทฤษฎีบท

สมการ 8.3

\ begin {} สม Lu = D_i (a ^ {IJ} (x) D_ju + B ^ ฉัน (x) U) + C ^ ฉัน (x) D_iu + d (x) U \ end {}

สมการ 8.30

\ เริ่ม {สมการ} \ int _ {\ Omega} \ left (D_ivA ^ i-vB \ right) dx = (\ le, \ ge) 0 \ end {สมการ}

สมการ 8.32

\ start {สมการ} \ bar z = | z | + k, \ qquad \ bar b = \ lambda ^ {- 2} (| b | ^ 2 + | c | ^ 2 + k ^ {- 2} | f | ^ 2) + \ lambda ^ {- 1} (| d | + k ^ {- 1} | g |) \ end {สมการ}

สมการ 8.33

\begin{align} p_iA^i(x,z,p) & \ge \frac{\lambda}{2}(|p|^2-2\bar b\bar z^2) \\ | \bar zB(x,z,p) | &\le \frac{\lambda}{2}\left( \epsilon|p|^2+\frac{\bar b}{\epsilon}\bar z^2\right) \end{align}

คำแนะนำความช่วยเหลือใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

Answer 1

มันต้องการเงื่อนไขอย่างแน่นอน $f^i\in L^q(\Omega)$ และ $g\in L^{q/2}(\Omega)$.

1. ในระหว่างการพิสูจน์ต้องเลือกอย่างใดอย่างหนึ่ง $\chi=\hat{n}(q-2) / q(\hat{n}-2)>1$(เหนือสมการ (8.37)) สิ่งนี้เป็นไปได้เฉพาะในกรณีที่$q>\hat n$.

2. ทฤษฎีบทโดยทั่วไปล้มเหลวสำหรับ $q\leq n$. เราสามารถหาเบาะแสบางอย่างจากไฟล์$W^{2,p}$การประมาณสมการรูปไข่ พิจารณาเป็นกรณีพิเศษ$f=0$ และ $Lu=g$ ด้วย $u=0$บนขอบเขต $W^{2,p}$ พูดประมาณว่า $$||u||_{W^{2,q/2}}\leq C||g||_{L^{q/2}}$$ เรียกคืนทฤษฎีบทฝัง Sobolev $W^{2,q/2}\in L^\infty$ ถ้า $q>n$ในขณะที่สิ่งนี้ไม่เป็นความจริงเมื่อ $q\leq n$.

สำหรับตัวอย่างการตอบโต้เราสามารถใช้องค์ประกอบเดียว $g\in W^{2,n/2}$ แต่ไม่เข้า $g\not\in L^\infty(\Omega)$. แล้ว$$\Delta u=\Delta g$$ มีทางออก $u$ ในขณะที่ (8.34) ไม่สามารถเป็นจริงได้