ลำดับFølnerที่มีรูปร่างแปลก ๆ
ปล่อย $G$เป็นกลุ่มที่ไม่ต่อเนื่องและสร้างขึ้นอย่างประณีต จำได้ว่า$\{F_n\}_{n \in \mathbb{N}}$เป็นลำดับFølnerถ้า$|g F_n \cup F_n|/|F_n| \rightarrow 1$ สำหรับทุกๆ $g \in G$. ตามที่ทราบกันดีการมีอยู่ของลำดับFølnerนั้นเทียบเท่ากับความสามารถในการตอบสนองของ$G$.
มักกล่าวกันว่าซีเควนซ์Følnerมีรูปร่างแปลก ๆ คำถามเบา ๆ ของฉันคือเรามีตัวอย่างใดบ้างที่สนับสนุนการอ้างสิทธิ์นี้ แน่นอนถ้า$G$คือการเจริญเติบโตแบบย่อยจากนั้นต่อมาของลูกบอลจะก่อตัวเป็นลำดับFølnerและสิ่งนี้ไม่มีรูปร่างแปลก ๆ ดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง: ตัวอย่างของกลุ่มการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลใดที่เรารู้ว่ามีลำดับFølnerอย่างชัดเจนที่ไม่ได้สร้างจากลูกบอล?
ตามตัวอย่างของตัวอย่างที่ฉันขอลำดับโฟลเนอร์รูปดาวจะถามหาชุดรูปแบบหนึ่งของFølnerในขณะที่คำตอบของเซตโฟลเนอร์และลูกบอลจะให้ลำดับที่ชัดเจนซึ่งทำจากสี่เหลี่ยม (ตรงข้ามกับลูกบอล) ในทำนองเดียวกันกลุ่มax + bมีลำดับFølnerที่ทำจากรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยที่ด้านหนึ่งมีขนาดใหญ่กว่าอีกด้านแบบทวีคูณ
คำตอบ
พีชคณิตมีประโยชน์มากกว่ารูปภาพ แต่รูปภาพนั้นสนุกดังนั้นไปดูกันเลย เพื่อยืนยันความคิดเห็นของฉันเกี่ยวกับโคมไฟการแสดงผลอย่างรวดเร็วของลูกบอลทั่วไปและชุดโคมไฟFølner อันที่จริงฉันไม่รู้ว่าอันไหนสวยกว่ากัน แต่ชุดFølnerเป็นชุดที่ดูเหมือนลูกบอลมากกว่า
ภาพสองภาพนี้ถ่ายจากมุมที่ต่างกันจึงสร้างภาพสามมิติดังนั้นหากคุณมองภาพซ้ายสุดด้วยตาขวาและในทางกลับกัน stereopsis ของคุณควรเตะเข้าฉันคิดว่าสิ่งนี้มีประโยชน์ถ้าคุณไม่ทำคุณสามารถเพิกเฉยต่อหนึ่งใน รูปภาพ.
ขั้นแรกให้ลูกบอลหรือรัศมี $3$กับเครื่องกำเนิดไฟฟ้าที่หัวเคลื่อนที่ เมื่อศีรษะเคลื่อนไปทางขวาคุณจะขึ้นไดอะแกรม ฉันกำลังใช้อนุสัญญาบางอย่างซึ่งหวังว่าจะเดาได้
นี่คือชุดFølnerทั่วไปที่มีเครื่องกำเนิดไฟฟ้าเดียวกัน
คำถามนี้ได้รับความนิยมในช่วงทศวรรษที่ 50 และ 60 หลังจากการพิสูจน์ทฤษฎีบทของโฟลเนอร์ มีการสร้างตัวอย่างชุด Folner แปลก ๆ มากมาย ตัวอย่างทั่วไปของกลุ่มที่มีชุด Folner หรือลูกบอลเป็นกลุ่มโคมไฟและผลิตภัณฑ์พวงหรีดของ gtoups แบบวนรอบที่ไม่มีที่สิ้นสุด สำหรับเอกสารล่าสุดเพิ่มเติมโปรดดูที่ Anna Erschler บนโปรไฟล์ isoperimetric ของกลุ่มที่สร้างขึ้นอย่างประณีต Geom. Dedicata, 100: 157–171, 2003 และข้อมูลอ้างอิงในนั้น
คำตอบสำหรับคำถามที่ไม่นุ่มนวลของคุณคือกลุ่มต่อไปนี้ทั้งหมดมีชุดการสร้าง [อย่างน้อยหนึ่ง] ชุดที่ทราบกันดีว่าลูกบอลไม่ใช่โฟลเนอร์ แต่ลำดับอื่น ๆ ("สี่เหลี่ยม") คือ Baumslag-Solitar ที่แก้ไขได้ผลิตภัณฑ์พวงหรีดบางชนิด (รวมถึงไฟแช็ค) ส่วนขยายบางส่วนของ$\mathbb{Z}^d$ โดย $\mathbb{Z}$ (ที่กำหนดโดยเมทริกซ์ที่ไม่มีค่าลักษณะเฉพาะของบรรทัดฐาน 1) บางค่า $ax+b$ กลุ่มและโดยทั่วไปเกือบทุกกลุ่มที่เป็นไปได้ของการเติบโตแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลซึ่งอนุกรมการเติบโตมีเหตุผลและได้รับการคำนวณแล้ว (ดูรายละเอียดด้านล่าง)
"ความแปลกประหลาด" ของชุดโฟลเนอร์:ดังที่กล่าวไว้ในคำถามลูกบอล [ลำดับต่อมาของ] จะสร้างลำดับโฟลเนอร์ตามธรรมชาติในกลุ่มของการเติบโตแบบย่อย ตอนนี้ตามที่คนอื่น ๆ ชี้ให้เห็นลูกบอล (เขียนไปยังเซตการสร้างที่ จำกัด บางส่วน) ค่อนข้าง "น่าเกลียด" สิ่งนี้สามารถทำได้อย่างแม่นยำหากพิจารณาแนวคิดของชุด Folner ที่เหมาะสมที่สุด:
ปล่อย $I(n)= \displaystyle \inf_{|A| \leq n} \dfrac{|\partial A|}{|A|}$ (ที่ $\inf$ วิ่งไปทุกชุด $A$ ขนาด $\leq n$) เป็นโปรไฟล์ isoperimetric จากนั้นชุด$F$ จะดีที่สุดถ้า $I(|F|)=\dfrac{|\partial F|}{|F|}$. ในคำ: ถ้าชุด$E$ ไม่ใหญ่กว่า [cardinality-wise] $F$จากนั้นก็คืออัตราส่วนไอโซเพอร์เมทริก $\dfrac{|\partial E|}{|E|}$ไม่เอาชนะอัตราส่วน isoperimetric ของ $F$.
เราสามารถตรวจสอบได้ (โดยใช้อสมการลูมิส - วิทนีย์) ที่โฟลเนอร์กำหนดไว้ที่เหมาะสมที่สุด $\mathbb{Z}^d$(เขียนชุดการสร้างตามปกติ) คือลูกบาศก์ [ไฮเปอร์] (หรือมักจะมีรูปทรงสี่เหลี่ยม) นี่เป็นวิธีที่ชัดเจนในการบอกว่าลูกบอลเป็นชุดโฟลเนอร์ "เงอะงะ" โดยการเปรียบเทียบชุดที่เหมาะสมที่สุดนั้นไม่ "แปลก" เลย (เนื่องจากต้องเลือกชุดที่เหมาะสมที่สุด)
สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับความแปลกโปรดดูหมายเหตุด้านข้างด้านล่าง
ตัวอย่างที่ชัดเจน:ถัดไปจากกลุ่มของการเติบโตแบบเอ็กซ์โพเนนเชียลเป็นคำถามเปิดว่าลำดับต่อมาของลูกบอลคือโฟลเนอร์หรือไม่ ฉันให้คำตอบบางส่วนซึ่งแสดงให้เห็นว่านี่ไม่ใช่กรณีที่กลุ่ม [พร้อมกับตัวเลือกการสร้างเซต] ได้บีบการเติบโตแบบเลขชี้กำลัง ซึ่งรวมถึงผลิตภัณฑ์พวงหรีดจำนวนมากกลุ่ม Baumslag-Solitar ที่สามารถแก้ไขได้และส่วนขยายบางส่วนของ$\mathbb{Z}^d$ โดย $\mathbb{Z}$ (ดูรายละเอียดในลิงค์)
กลุ่มเหล่านี้สามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์กึ่งโดยตรงได้ ถ้า$G$ และ $H$ เป็นที่ยอมรับแล้วเราสามารถแสดงให้เห็นว่า $G \rtimes H$ เป็นที่ยอมรับและชุด Folner เป็นของแบบฟอร์ม $E_n \times F_n$ (ที่ไหน $E_n$ [resp. $F_n$] เป็นลำดับโฟลเนอร์ของ $G$ [resp. $H$]). ในแง่นั้นชุดโฟลเนอร์ที่เราเจอ (อย่างเฉื่อยชาในแง่ที่ว่าเกิดจากการพิสูจน์ทั่วไป) ในกลุ่มดังกล่าวเป็น "สี่เหลี่ยม"
ดังนั้นกลุ่มที่กล่าวถึงข้างต้น [Baumslag-Solitar ที่สามารถแก้ไขได้กลุ่ม metabelian บางกลุ่มที่มีลำดับการเติบโตเป็นเหตุเป็นผลและไม่มีเสาสองขั้วที่รัศมีการบรรจบกัน $ax+b$- กลุ่ม)] เป็นคำตอบโดยตรงสำหรับคำถามที่สองของคุณ (สำหรับชุดการสร้างบางชุด) เรารู้ดีว่าลูกบอล (ชุดสร้าง WRT) ไม่ใช่ Folner แต่ชุด "สี่เหลี่ยม" บางชุดเป็น (เพื่อให้แม่นยำ: อาจมีกลุ่มที่มีขั้วเดียวซึ่งไม่ใช่ผลิตภัณฑ์กึ่งทางตรงหรือส่วนขยายของกลุ่มที่ตอบสนองได้สำหรับกลุ่มเหล่านี้ [ ถ้ามีใครทราบ] ไม่มีชุด "สี่เหลี่ยม")
สำหรับส่วนขยายที่ไม่แยกคำอธิบายของชุด Folner ได้รับจากที่นั่นโดย Ycor โปรดทราบว่าเราสามารถปรับความหมายของ "รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า" สำหรับส่วนขยายที่ไม่แยกได้: โดยการใช้ภาพก่อนหน้าของชุด Folner ของผลหารคูณกับชุด Folner บางส่วนของกลุ่มย่อย
ตอนนี้อาจมีใครคิดว่าชุด "สี่เหลี่ยม" (และไม่มีลูกบอลอีกต่อไป) เป็นรายการโปรด แต่แล้วยังมีกลุ่มง่ายๆของการเติบโตระดับกลางดูคำถามนี้ และ (ถ้าไม่ใช่สำหรับกลุ่มดังกล่าวดังนั้นสำหรับกลุ่มย่อยอื่น ๆ ของการเติบโตแบบย่อย) ฉันเดาว่าลูกบอลเป็นผู้สมัครเพียงคนเดียวที่มี
โดยพื้นฐานแล้วฉันคิดว่าปัญหานี้เกี่ยวข้องกับวิธีที่เราสร้างกลุ่มที่เอื้อเฟื้อต่อกัน เราใช้คุณสมบัติสี่ประการของ amenability เสมอ (ส่วนขยายกลุ่มย่อยผลหารและขีด จำกัด โดยตรง) ดังนั้นสิ่งที่เริ่มต้นด้วยการเติบโตเป็นเกณฑ์พื้นฐานและใช้คุณสมบัติทั้งสี่นั้น (อาจมีหลายวิธีที่จะทำได้) สิ่งนี้จะให้ชุด Folner ที่รู้จักสำหรับกลุ่มหนึ่ง ๆ เป็นตัวอย่างโง่ ๆ ที่คุณสามารถพูดได้ว่า Folner ธรรมชาติเข้ามา$\mathbb{Z}^3$ เป็นกระบอกสูบ (ลูกบอลใน $\mathbb{Z}^2$ ครั้งที่ลูกบอลใน $\mathbb{Z}$).
หมายเหตุด้านข้าง 1:เป็นคำถามเปิดที่มีมายาวนานเพื่อพิสูจน์ว่าอะไรคือชุดดังกล่าวในกลุ่ม Heisenberg (ต่อเนื่อง) (แม้ว่ารูปร่างที่คาดเดาจะได้รับการอธิบายไว้อย่างดี) นั่นคือแรงจูงใจของฉันนี้คำถาม
หมายเหตุด้านข้าง 2:ตามที่ Ycor ชี้ให้เห็นตามลำดับ Folner$F_n$ คุณสามารถทำให้มัน "แปลกอย่างที่คุณต้องการ" โดยพิจารณาลำดับของเซต จำกัด โดยพลการ $E_n$ ด้วย $\dfrac{|E_n|}{|F_n|} \to 0$. ข้อดีอย่างหนึ่งของการพิจารณาลำดับโฟลเนอร์ที่เหมาะสมที่สุดคือการหลีกเลี่ยงการตั้งค่าดังกล่าว (ข้อเสียที่เห็นได้ชัดคือแทบไม่มีกลุ่มใดที่รู้ว่าเซตที่เหมาะสมที่สุด) หมายเหตุเพิ่มเติมคือการเพิ่มชุดดังกล่าว$E_n$ไม่มีผลต่อการวัดค่าคงที่ที่หนึ่งได้รับ (สำหรับตัวกรองอัลตร้าฟิลเตอร์คงที่) โปรดทราบว่าการแปลชุดอาจมีผลต่อการวัดขีด จำกัด
หมายเหตุด้านข้าง 3:นี่คืออีกแง่มุมหนึ่งของ "ความแปลกประหลาด" ของชุด Folner พิจารณาลำดับ$P_n = [2^n,2^{n+1}]$, $M_n = [-2^{n+1},-2^n]$เช่นเดียวกับ $A_n = (-1)^n \cdot P_n$ จำนวนชุดใน $\mathbb{Z}$. จากนั้นพิจารณาฟังก์ชั่น$f(n) = \mathrm{sign}(n)$. ค่าเฉลี่ยคงที่ที่ได้รับจาก$P_n$ บน $f$ คือ 1 (ตัวกรองอัลตร้าฟิลเตอร์ที่คุณเลือกไม่ว่าคุณจะเลือกอะไร) อันที่คุณได้รับ $M_n$ คือ $-1$ (อีกครั้งไม่ว่าจะเป็นฟิลเตอร์อัลตร้าฟิลเตอร์อะไรก็ตาม) และสุดท้ายก็จะเป็นตัวกรอง $A_n$ขึ้นอยู่กับ Ultafilter ที่คุณเลือก และคุณสามารถสร้างจำนวนจริงใน$[-1,1]$ ลำดับ $R_n$ซึ่งมาบรรจบกันเป็นตัวเลขนั้น (ค่าของตัวกรองอัลตร้าฟิลเตอร์) ไม่ยากเกินไปที่จะสร้างลำดับซึ่งขึ้นอยู่กับตัวกรองอัลตร้าฟิลเตอร์ที่มาบรรจบกันเป็นจำนวนที่มีเหตุผลใน$[-1,1]$.