เลขพีชคณิต p-adic คืออะไร?

Question

"รับ $p$, องค์ประกอบของ $\mathbb{Q}_p$ พีชคณิตมากกว่า $\mathbb{Q}$?”

ฉันสงสัยเรื่องนี้เป็นระยะและเจอคำถามเกี่ยวกับการไหลเวียนของน้ำซึ่งดูเหมือนจะถามในสิ่งเดียวกัน คำตอบที่เลือกดูเหมือนจะไม่ตอบคำถามนั้น (ที่ฉันเห็น) และ googling "p-adic algebraic numbers" จะส่งกลับคำถามนั้นเป็นผลลัพธ์อันดับต้น ๆ ณ จุดนั้นฉันยอมแพ้และรอจนกว่าฉันจะลืมแล้วลองอีกครั้ง คราวนี้ฉันจะถามว่า:

คุณรู้หรือไม่ว่าลักษณะของไฟล์ $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ หรือมีข้อมูลอ้างอิงสำหรับ "$p$- เลขพีชคณิต? "

ฉันไม่แน่ใจว่ามีลักษณะของ "จำนวนพีชคณิตจริง" ที่น่าพอใจมากกว่า "จำนวนพีชคณิตจริง" แต่ค่าสัมบูรณ์ของ p-adic นั้นเป็น "พีชคณิต" มากกว่าค่าสัมบูรณ์ที่แท้จริงและมีความแตกต่างดังนี้ $p$ แตกต่างกันไปดังนั้นพวกเขาคืออะไร?

Answer 1

ปล่อย $O_\overline{\Bbb{Q}}$ เป็นจำนวนเต็มพีชคณิตใช้อุดมคติสูงสุด $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ ที่มี $p$, ปล่อย $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$แล้ว $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ และ $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ คือ (isomorphic ถึง) ฟิลด์ย่อยของ $\overline{\Bbb{Q}}$ แก้ไขโดย $G$.

เท่ากันให้ $S$ เป็นชุดของส่วนขยายพีชคณิต (ระดับอนันต์) $K/\Bbb{Q}$ ซึ่งอุดมคติสูงสุดบางประการ $\mathfrak{p}\subset O_K$ เป็นเช่นนั้น $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$. แล้ว$\Bbb{Z}_p$ คือ (isomorphic ถึง) ความสมบูรณ์ของ $O_K$ ที่ $\mathfrak{p}$และ $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ คือ (isomorphic ถึง) องค์ประกอบสูงสุดของ $S$.