มีฟังก์ชันอยู่เสมอหรือไม่ $ f $ ซึ่ง $ Y - f ( X ) $ และ $ X $ เป็นอิสระ?
ปล่อย $ X $ และ $ Y $ เป็นตัวแปรสุ่มจริง
มีฟังก์ชันอยู่เสมอหรือไม่ $ f $ ซึ่ง $ Y - f ( X ) $ และ $ X $ เป็นอิสระ?
ฉันพยายามที่จะพิสูจน์คำแถลง แต่ก็ไม่สามารถทำได้
หากคำสั่งเป็นเท็จจะต้องมีตัวแปรสุ่ม $ X $ และ $ Y $ เช่นนั้นสำหรับฟังก์ชันใด ๆ $ f $, $ Y - f ( X ) $ และ $ X $มีความไม่เป็นอิสระ
แต่ฉันก็ไม่พบตัวแปรสุ่มคู่นั้น $ X $ และ $ Y $.
ฉันจะขอบคุณคำแนะนำหรือคำใบ้!
คำตอบ
ไม่ แต่มีไฟล์ $f(X)$ ที่ไม่เกี่ยวข้องกัน
สองตัวแปร $X$ และ $Y$ เป็นอิสระหากการแจกแจงความน่าจะเป็นของ $Y|X$ ไม่ขึ้นอยู่กับ $X$. พิจารณา$Y|X \sim N(0, X^{2})$แล้ว $Y-f(X)|X \sim N(-f(X), X^{2})$ ซึ่งยังคงขึ้นอยู่กับ $X$ สำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ $f$.
ถ้าเรากำหนด $E[f(X)]$ ดังนั้น $Cov(f(X), X) = Cov(Y,X)$แล้ว $Cov(Y-f(X), X) = 0$. ตัวอย่างเช่นให้$f(X) = \frac{Cov(Y,X)}{Var(X)} X$ เป็นเส้นตรง
ปล่อย $\Omega = \{a,b,c\}$ เป็นช่องว่างของความน่าจะเป็นที่มีผลลัพธ์สามแบบโดยแต่ละผลลัพธ์มีความน่าจะเป็น $1/3$. ปล่อย$X = 1_{\{a\}}$ และ $Y = 1_{\{b\}}$. คุณสามารถตรวจสอบว่าถ้า$A,B$เป็นเหตุการณ์อิสระในช่องว่างนี้หนึ่งในนั้นต้องมีความน่าจะเป็น 0 หรือ 1 เป็นผลให้ตัวแปรสุ่มใด ๆ ที่เป็นอิสระจาก$X$ต้องคงที่ แต่$Y-f(X)$ ไม่สามารถคงที่ได้เนื่องจากจำเป็นต้องใช้ค่าที่แตกต่างกัน $b$ และ $c$.