เป็นไปได้ไหมว่า $2^{2A}+2^{2B}$ คือเลขกำลังสอง?

Aug 15 2020

ให้ A และ B เป็นจำนวนเต็มบวกสองจำนวนที่มากกว่า $0$. เป็นไปได้ไหมว่า$2^{2A}+2^{2B}$ คือเลขกำลังสอง?

ฉันมีปัญหากับแบบฝึกหัดนี้เพราะฉันรู้สึกว่าคำตอบคือไม่ แต่ฉันไม่สามารถอธิบายรายละเอียดเกี่ยวกับการพิสูจน์ได้ จนถึงตอนนี้สิ่งที่ฉันคิดคือสมมติว่ามีจำนวนเต็ม$C>0$ ดังนั้น $2^{2A}+2^{2B}=C^2$. แล้ว$$(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$$ฉันพยายามดูว่าการแสดงออกก่อนหน้านี้สามารถมีความขัดแย้งได้หรือไม่ แต่ฉันติดขัด ทั้งหมดที่ฉันพบก็คือ$C$ต้องเป็นเลขคู่ แต่ดูเหมือนจะไม่ทำให้ฉันไปไหน ฉันขอขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือใด ๆ

ขอบคุณล่วงหน้า!

คำตอบ

19 ShubhrajitBhattacharya Aug 15 2020 at 23:39

โดยไม่ต้องสูญเสียทั่วไปให้ $A>B$. แล้ว$2^{2A}+2^{2B}=2^{2B}(2^{2A-2B}+1)$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส $2^{2A-2B}+1$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส $2^{2B}$เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่เป็นไปไม่ได้ตั้งแต่นั้นมา$2^{2A-2B}$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

10 BarryCipra Aug 16 2020 at 00:01

คำตอบของ Shubhrajit Bhattacharya ให้ข้อพิสูจน์ที่ง่ายและตรงประเด็น $2^{2A}+2^{2B}$ไม่สามารถเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส แต่เพื่อความสนุกขอปิดแนวทางของ OP (ซึ่งตอนแรกฉันคิดว่านำไปสู่ทางตัน)

ถ้า $(2^A+2^B)^2=C^2+2^{A+B+1}$แล้ว $(2^A+2^B+C)(2^A+2^B-C)=2^{A+B+1}$ซึ่งหมายความว่า $2^A+2^B+C$ และ $2^A+2^B-C$ เป็นทั้งสองพลังของ $2$และพลังที่แตกต่างกันอย่างเห็นได้ชัดของ$2$, พูด $2^a$ และ $2^b$ ด้วย $a\gt b$ และ $a+b=A+B+1$. แต่โดยนัยนี้

$$2(2^A+2^B)=2^a+2^b$$

ถ้าตอนนี้เราถือว่าโดยไม่สูญเสียความเป็นทั่วไปนั่น $A\ge B$, เรามี

$$2^{B+1}(2^{A-B}+1)=2^b(2^{a-b}+1)$$

ตอนนี้ $a\gt b$ หมายถึง $2^{a-b}+1$ เป็นจำนวนคี่ที่มากกว่า $1$ซึ่งเป็นไปตามที่เราต้องมี $A\gt B$ (มิฉะนั้นทางซ้ายมือจะเป็นพลังของ $2$ไม่ใช่ผลคูณของจำนวนคี่ที่มากกว่า $1$). นี่หมายความว่า$b=B+1$ และ $a-b=A-B$จากที่เราได้รับ

$$a+b=(a-b)+2b=(A-B)+2(B+1)=A+B+2$$

ขัดแย้งกับ $a+b=A+B+1$.

หมายเหตุ: ฉันรู้สึกประหลาดใจเล็กน้อยกับลักษณะของความขัดแย้งที่นี่และต้องตรวจสอบงานของฉันอย่างรอบคอบเพื่อให้แน่ใจว่าฉันไม่ได้ทำผิดเลขคณิตโง่ ๆ

3 fleablood Aug 16 2020 at 00:21

แค่ทำมัน.

สมมติว่าไม่มีการสูญเสียทั่วไปว่า $A \le B$ ดังนั้น

$2^{2A} + 2^{2B}=$

$2^{2A} (1 + 2^{2B-2A})=$

$(2^A)^2 [1 + 2^{2B-2A}]=$

$(2^A)^2 [(2^{B-A})^2 + 1]$.

ดังนั้นถ้านั่นคือกำลังสองสมบูรณ์เราก็ต้องมี $(2^{B-A})^2 + 1$ เป็นกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ

แต่ $(2^{B-A})^2$เป็นกำลังสองสมบูรณ์ดังนั้นเราจึงมีกำลังสองสมบูรณ์แบบติดกัน มันควรจะเป็นเรื่องง่ายที่จะโน้มน้าวตัวเองว่ามีเวลาเดียว$0^2$ และ $1^2$. (พิสูจน์เป็นภาคผนวก).

วิธีเดียวที่จะเกิดขึ้นคือถ้า $(2^{B-A})^2 = 0$ และ $(2^{B-A})^2 + 1=1$.

แต่ $2^{B-A} = 0$ เป็นไปไม่ได้

====

ภาคผนวก: จากนั้นมีเพียงสองช่องสี่เหลี่ยมที่ติดต่อกันเท่านั้น $0$ และ $1$.

หลักฐาน: สมมติว่า $m^2 = n^2 + 1$. ที่ไหน$m,n$ เป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบ $n^2 < m^2 = n^2 + 1 \le n^2 + 2n + 1= (n+1)^2$ ดังนั้น $n < m \le m+1$. แต่จำนวนเต็มระหว่าง$n$ (เฉพาะตัว) และ $n+1$ (รวม) คือ $n+1$ ดังนั้น $m = n+1$. และอื่น ๆ$n^2 + 1 = m^2 = (n+1) = n^2 + 2n + 1$ ดังนั้น $2n = 0$ และ $n = 0$ และ $m =1$.

2 Haran Aug 15 2020 at 23:42

สมมติว่า $2^{2A}+2^{2B}$เป็นกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ สมมติว่าไม่มีการสูญเสียทั่วไป$A \geqslant B$. จากนั้นให้$A-B=x$, ที่ไหน $x$เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ ตามที่เรามี:$$2^{2A}+2^{2B}=(2^B)^2 \cdot (2^{2x}+1)$$ทีนี้ถ้า LHS เป็นกำลังสองสมบูรณ์ RHS ก็ต้องเป็นกำลังสองที่สมบูรณ์แบบด้วย ก็เป็นไปตามนั้น$2^{2x}+1$เป็นกำลังสองที่สมบูรณ์แบบ ปล่อยให้เป็นแบบนี้$n^2$. จากนั้นเรามี:$$2^{2x}=n^2-1=(n-1)(n+1)$$ ตอนนี้เราต้องการ $n-1$ และ $n+1$ เพื่อให้ทั้งคู่เป็นพลังที่สมบูรณ์แบบของ $2$. สิ่งนี้สามารถเกิดขึ้นได้สำหรับ$n=3$. อย่างไรก็ตามถึงอย่างนั้นเราจะมีเพียง$2^{2x}=8$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้เช่นกัน $x$เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้นจึงไม่มีวิธีแก้ไข

1 Sil Sep 05 2020 at 06:12

เราจะมี $k^2=4^{A}+4^{B}\equiv 1+1= 2\pmod 3$เป็นไปไม่ได้เหมือน $k^2 \equiv 0,1 \pmod 3$.