แผนภาพปมที่ไม่สลับกัน

Question

(ฉันถามสิ่งนี้ในMSEเมื่อสองสามวันก่อนโดยไม่มีข้อยุติที่ชัดเจน)

เริ่มต้นด้วยเส้นโค้งแบบปิดที่ตัดกันเองโดยที่ทางข้ามทุกครั้งจะเป็นแนวขวาง ตอนนี้สร้างสิ่งที่ตรงกันข้ามกับแผนภาพปมสลับดังนี้ เริ่มต้นที่ใดก็ได้ข้ามเส้นโค้งและในการข้ามที่ไม่เคยไปมาก่อนหน้านี้ให้ข้ามไปข้างบน หากมีการเยี่ยมชมทางข้ามก่อนหน้านี้ให้ออกจากการกำหนดทางข้ามที่กำหนดไว้

สองตัวอย่างดังแสดงด้านล่าง (ก) เห็นได้ชัดว่า unknot (b) ยังเป็น unknot ซึ่งอาจจะไม่ชัดเจนเท่าที่ควร

---

^{วงกลมสีแดงแสดงจุดเริ่มต้นลูกศรทิศทางการข้าม}

---

ฉันคาดว่าแผนภาพเหล่านี้จะแสดงถึง unknot อย่างชัดเจน แต่ฉันไม่เห็นหลักฐานที่ชัดเจน ดังนั้น:

ถาม . พิสูจน์ (หรือหักล้าง) ว่าแผนภาพปมดังกล่าวแสดงถึงสิ่งที่ไม่สำคัญเสมอ

Answer 1

ให้เราทำการทดสอบเส้นโค้งระนาบโดย $\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$ และถือว่า $\gamma(0)=\gamma(1)=(0,0)$. จากนั้นเส้นโค้งของคุณคือแผนภาพปมของปมซึ่งเป็นพาราเมทริก$K:[0,2]\to\mathbb R^3$ ให้โดย $$K(t)=\begin{cases}(\gamma(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$(โดยพื้นฐานแล้วให้ลองนึกภาพการผูกปมของคุณบนไม้เพื่อให้เชือกตกลงไปด้วยความเร็วสม่ำเสมอ) จากนั้นเราสามารถ "คลาย" ปมนี้ได้ คือตั้งแต่$\gamma$ ผ่านไปเท่านั้น $(0,0)$ ที่จุดสิ้นสุดเราสามารถเขียนได้ $\gamma(t)$ ในพิกัดเชิงขั้วโดย $(r(t),\phi(t))$ ด้วย $r,\phi$ ต่อเนื่อง $(0,1)$. จากนั้นเราสามารถปลดล็อค$K$ ตามลำดับของนอตต่อไปนี้ $K_s$ซึ่งเริ่มต้นด้วย unknot และลงท้ายด้วย $K$เขียนด้วยพิกัดทรงกระบอก: $$K_s(t)=\begin{cases}(r(t),s\phi(t),1-t)&\text{if }t\leq 1,\\(0,0,t-1)&\text{if }t>1.\end{cases}$$