พิสูจน์คำสั่ง $\text{ev}_0 \dashv r:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$
ฉันจำได้ว่า $\Delta$ คือหมวดหมู่ที่มีวัตถุอยู่ในรูปแบบ $\textbf{n}=\{0,1,...,n\}$ และสัณฐาน (อย่างอ่อน) เพื่อรักษาแผนที่
ปล่อย $\mathcal{C}$ เป็นหมวดหมู่และปล่อยให้ $\mathcal{C}^{\Delta}=[\Delta, \mathcal{C}]$ เป็นหมวดหมู่ functor ของวัตถุ cosimplicial ใน $\mathcal{C}$.
มี functor $\text{ev}_0:\mathcal{C}^{\Delta} \to \mathcal{C}$ ซึ่งใช้วัตถุ cosimplicial $X[-]$ ถึงค่าที่ $0$, $X[0]$.
นอกจากนี้ยังมี functor $r:\mathcal{C} \to \mathcal{C}^{\Delta}$ ถ่ายวัตถุ $C$ ไปยัง functor คงที่ $rC$ ดังนั้น $rC[n]=C$ เพื่อทุกสิ่ง $n$.
ฉันอ่านคำกล่าวอ้างว่าเรามีคำสั่งศาล $$\text{ev}_0 \dashv r$$ และฉันอยากจะพิสูจน์มัน
ด้วยการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ $\eta: X[-] \Rightarrow rC$ฉันสามารถส่งไปยังแผนที่ได้แน่นอน $\eta_0:X[0]\to C.$
ในทางกลับกันฉันสามารถพิจารณาแผนภาพได้ $$\cdots\to X[n]\to \cdots \to X[1]\to X[0]$$ แต่ละอัน $$\alpha_{n,n-1}:X[n] \to X[n-1]$$ เกิดจากการยอมแพ้ $\textbf{n}\to \textbf{n-1}$ การส่ง $n \mapsto n-1$ และ $i \mapsto i$ เพื่อทุกสิ่ง $i<n$.
ดังนั้นให้แผนที่ $f:X[0] \to C,$ ฉันสามารถกำหนดอุปนัยได้ $$f_0=f$$ $$f_i=f_{i-1}\alpha_{i,i-1}$$
ฉันคิดว่าถ้าฉันพิสูจน์ครอบครัวนี้ $\{f_i\}_i$กำหนดแผนที่ของเซต cosimplicial นั่นคือการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติฉันทำเสร็จแล้ว แต่ฉันไม่รู้วิธีทำแผนที่ทั่วไป WRT$X[i]\to X[j].$
คำตอบ
แต่ละ $n$ มีแผนที่ที่ไม่เหมือนใคร $!_n : n \to 0$ ใน $\Delta$. สมมติว่า$\alpha : X \implies r(c)$เป็นการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติ แล้วตามธรรมชาติที่แผนที่$!_n$ส่วนประกอบ $\alpha_n$ ต้องเท่ากับ $\alpha_0 \circ X(!_n)$. ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติใน$\mathcal{C}^\Delta(X, r(c))$ ถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดย $\alpha_0$.
ในทางกลับกันถ้า $\alpha_0 : X(0) \to c$ เป็น morphism ใน $\mathcal{C}$ จากนั้นเราสามารถยกระดับไปสู่การเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติได้ $\alpha : X \implies r(c)$ โดยการกำหนดส่วนประกอบ $\alpha_m : X(m) \to c$ เป็น $\alpha_0 \circ X(!_m)$. นี่เป็นการเปลี่ยนแปลงตามธรรมชาติจริงๆเพราะถ้า$f:n \to m$ ใน $\Delta$ แล้ว $\alpha_m \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m) \circ X(f) = \alpha_0 \circ X(!_m \circ f) = \alpha_0 \circ X(!_n) = \alpha_n$.