พิสูจน์ความต่อเนื่องของ $\sqrt{x}$ - ความผิดพลาดของฉันอยู่ที่ไหน

Aug 19 2020

ฉันพยายามพิสูจน์ว่า $f(x) = \sqrt{x}$ เปิดต่อเนื่อง $[0, \infty)$. นี่คือสิ่งที่ฉันมีจนถึงตอนนี้:

พิจารณา $x_0 \in [0,\infty)$ $$|f(x) - f(x_0)| = |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}|$$

ลองคูณปริมาณนั้นด้วยจำนวนบวก $|\sqrt{x}+\sqrt{x_0}|$. จากนั้น$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}||\sqrt{x} + \sqrt{x_0}|\\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &< |x-x_0| < \delta \end{align} $$

มาเลือกกันเลย $\delta=\epsilon$. ตอนนี้เรามี$$ \begin{align} |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\delta \\ |\sqrt{x} - \sqrt{x_0}| &<\epsilon \\ |f(x) - f(x_0)| & < \epsilon \end{align} $$ เมื่อไหร่ $|x-x_0|<\delta$. ดูเหมือนจะพิสูจน์ได้ถ้าคุณถามฉัน แต่จากสิ่งที่ฉันอ่านมาโมดูลัสของความต่อเนื่องของ$\sqrt{x}$ คือ $\delta(\epsilon)=\epsilon^2$. สิ่งนี้บังคับให้ฉันสรุปว่าฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง แต่หาไม่พบ (ฉันพนันได้เลยว่ามันเป็นรายละเอียดที่โง่เง่า)

ขอบคุณล่วงหน้า!

คำตอบ

2 DonAntonio Aug 19 2020 at 05:16

คำแนะนำ:

$$|\sqrt x-\sqrt{x_0}|=\frac{|x-x_0|}{\sqrt x+\sqrt{x_0}}<\frac\delta{\sqrt x+\sqrt{x_0}}$$

และคุณรู้ $\;\sqrt x\ge 0\;$ เพื่อทุกสิ่ง $\;x\in[0,\infty)\;$ ดังนั้น $\;\sqrt x+\sqrt{x_0}\ge\sqrt{x_0}\;$ ...