พิสูจน์ / โต้แย้ง: $A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$ สำหรับ $A \geq B$

Question

ฉันพยายามพิสูจน์สิ่งต่อไปนี้สำหรับ $A \geq B$ทั้งสองเป็นจำนวนเต็มบวกอย่างเคร่งครัด: $$A - \lfloor A/B \rfloor - \lceil A/B \rceil \leq (\lfloor A/B \rfloor + 1) \times B$$ไม่แน่ใจว่าเป็นเรื่องจริง ไม่พบตัวอย่างการตอบโต้ ใครมีความคิด?

Answer 1

$ \newcommand{\f}[1]{\left\lfloor #1 \right\rfloor} \newcommand{\c}[1]{\left\lceil #1 \right\rceil} $ โปรดทราบว่า $\f{A/B} \leq \c{A/B}$ดังนั้น: $$ A - \f{A/B} - \c{A/B} \leq A - 2\f{A/B} \\ (\f{A/B} + 1)B = \f{A/B}B + B \geq (A/B - 1)B + B = A $$ ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันจึงถือเป็น $\f{A/B} > 0$.

Answer 2

$A\ge B\implies\lfloor A/B \rfloor\ge 1$ และ $\lceil A/B \rceil\ge 1$ $$A-\lfloor A/B\rfloor - \lceil A/B \rceil <A=A/B\times B\le \lceil A/B\rceil \times B \le (\lfloor A/B \rfloor +1)\times B$$

โดยที่ความไม่เท่าเทียมกันสุดท้ายเกิดขึ้นตั้งแต่นั้นมา $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor $ ถ้า $A$ หารด้วย $B$, มิฉะนั้น $A/B$ ไม่ใช่จำนวนเต็มและ $\lceil A/B \rceil = \lfloor A/B \rfloor +1$.