ปล่อย $\mathbf a$ และ $\mathbf b$เป็นเวกเตอร์ 3 มิติ ค้นหาไฟล์ $3\times3$ เมทริกซ์ $\mathbf R$ ดังนั้น $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.
สวัสดีตามชื่อเรื่องว่าฉันกำลังพยายามค้นหาสิ่งนี้
ปล่อย $\mathbf a$ และ $\mathbf b$เป็นเวกเตอร์ 3 มิติ ค้นหาไฟล์$3\times3$ เมทริกซ์ $\mathbf R$ ดังนั้น $\mathbf {Ra} = \mathbf a_{\bot \mathbf b}$.
ตามแบบฝึกหัดของฉันคำตอบคือ
$$ R = \frac{1}{b^2} \begin{bmatrix} b^2_y+b^2_z & -b_xb_y & -b_xb_z \\ -b_xb_y & b^2_x+b^2_z & -b_yb_z \\ -b_xb_z & -b_yb_z & b^2_x+b^2_y \\ \end{bmatrix} $$
ฉันไม่สามารถเข้าถึงโซลูชันนี้ได้และฉันสามารถไปได้ไกลถึง
$$ a_{\bot b} = a - a_{||b} = a - \frac{a\cdot b}{b^2}b $$ และฉันสามารถทดแทนได้ $ a_{||b} $ สำหรับการแสดงออกเป็นผลิตภัณฑ์เมทริกซ์ $$ a_{||b} = \frac{1}{b^2}bb^{\mathrm T}a $$ และนี่คือผลิตภัณฑ์ภายนอกจึงกลายเป็น $$a_{\bot b} = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix}$$
จากสิ่งนี้ฉันจะได้รับ $$ Ra = a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix} b^2_x & b_xb_y & b_xb_z \\ b_xb_y & b^2_y & b_yb_z \\ b_xb_z & b_yb_z & b^2_z+b^2_y \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \\ \end{bmatrix} $$ เท่าที่ฉันสามารถทำได้และฉันไม่แน่ใจว่าขั้นตอนที่จำเป็นในการรับสมการสุดท้ายเป็นค่าแรก
ขอบคุณสำหรับข้อมูลเชิงลึกที่ทุกคนสามารถให้ข้อมูลได้
คำตอบ
ขั้นตอนสุดท้ายจะเป็น $$ \begin{align*} Ra &= a - \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}a\\ &= \frac{1}{b^2}\Bigg(b^2I - \begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ \end{align*}$$ สังเกตว่า $b^2 = b_x^2 + b_y^2 + b_z^2$. ดังนั้น$$\begin{align*} Ra &= \frac{1}{b^2}\Bigg(\begin{bmatrix}b_x^2 + b_y^2 + b_z^2& 0 & 0\\ 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2 & 0\\ 0 & 0 & b_x^2 + b_y^2 + b_z^2\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}b_x^2 & b_xb_y & b_xb_z\\ b_xb_y & b_y^2 & b_yb_z\\ b_xb_z & b_yb_z & b_z^2\end{bmatrix}\Bigg)a \\ &= \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}a\end{align*} $$ ดังนั้น $$ R = \frac{1}{b^2}\begin{bmatrix}b_y^2 + b_z^2 & -b_xb_y & -b_xb_z\\ -b_xb_y & b_x^2 + b_z^2 & -b_yb_z\\ -b_xb_z & -b_yb_z & b_x^2 + b_y^2\end{bmatrix}$$