ประโยชน์ของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
ฉันเพิ่งเจอหนังสือเหล่านี้:
- เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และกลุ่มโกหก: มุมมองเชิงคำนวณ
- เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์และกลุ่มโกหก: หลักสูตรที่สอง
เนื้อหาของพวกเขาทำให้ฉันสนใจมากเพราะฉันชอบโทโพโลยี / เรขาคณิต / การวิเคราะห์มาก แต่ไม่ได้วางแผนที่จะติดตามพวกเขาเนื่องจากฉันต้องการทำงานในพื้นที่ที่มีการประยุกต์ใช้อย่างเป็นรูปธรรมด้วย อย่างไรก็ตามฉันไม่เชื่อ จนถึงจุดหนึ่งฉันคิดว่าการวิเคราะห์ข้อมูลโทโพโลยี (TDA) เป็นการผสมผสานที่สมบูรณ์แบบกับความสนใจของฉัน แต่ฉันพบหลักฐานน้อยมากว่าสาขานั้นถูกใช้ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์จริง ๆ น้อยกว่ามากในอุตสาหกรรมหรือการตั้งค่าที่เป็นประโยชน์ ดูเหมือนว่า TDA ทำให้นักคณิตศาสตร์รู้สึกมีความเกี่ยวข้องกับโลกวิทยาศาสตร์ข้อมูลมากขึ้น แต่ฉันไม่มั่นใจว่ามันทำให้เป็นเช่นนั้น (อย่าลังเลที่จะโต้แย้งฉันหากคุณคิดว่าฉันผิดในประเด็นนี้ แต่โปรดทราบว่าฉันต้องการรูปธรรม กรณีการใช้งานไม่ใช่อาร์กิวเมนต์นามธรรมเกี่ยวกับความเกี่ยวข้อง) ฉันมีเรื่องราวที่คล้ายกันเกี่ยวกับทฤษฎีการเข้ารหัสบางแง่มุมของทฤษฎีเซต ฯลฯพวกเขาอาจมีความเกี่ยวข้องทางทฤษฎี แต่มีสถานการณ์ใดบ้างที่ในกระบวนการพัฒนาซอฟต์แวร์เราอาจต้องปรึกษาสาขาเหล่านี้? ฉันไม่รู้เรื่องใด ๆ
ตอนนี้คำถามของฉัน: มีสาขาวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ที่ใช้ประโยชน์จากเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ขั้นสูงได้หรือไม่? การถ่ายภาพทางการแพทย์การถ่ายภาพอื่น ๆ คอมพิวเตอร์กราฟฟิคความจริงเสมือนและสาขาอื่น ๆ บางสาขาถือเป็นพื้นที่การใช้งานที่มีศักยภาพ อย่างไรก็ตามจากประสบการณ์ของฉัน (ที่ยอมรับได้อย่าง จำกัด ) พื้นที่เหล่านี้ดูเหมือนจะใช้เรขาคณิต 3 มิติพื้นฐานพีชคณิตเชิงเส้นเชิงตัวเลขและบางครั้งการวิเคราะห์ PDE ในเชิงตัวเลข ทั้งหมดนี้เป็นหัวข้อที่ดีมาก แต่ไม่ต้องการอะไรที่เป็นนามธรรมเท่ากับเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์
ขอบคุณล่วงหน้า.
คำตอบ
ฉันเห็นรูปเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ที่ใช้กับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์เป็นหลักในฟิลด์ย่อยที่ประยุกต์ใช้ต่อไปนี้:
- คอมพิวเตอร์กราฟิก / การประมวลผลเรขาคณิต
- การเรียนรู้ของเครื่อง / การประมวลผลสัญญาณ
สำหรับการประมวลผลคอมพิวเตอร์กราฟิก / เรขาคณิตแนะนำให้ค้นหา:
- หลักสูตรเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบไม่ต่อเนื่องโดย Keenan Crane
- รูปทรงเรขาคณิตที่แตกต่างแบบไม่ต่อเนื่องสำหรับรายการเล่น CS
- การรวบรวมเอกสารเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์แบบไม่ต่อเนื่อง
สำหรับการเรียนรู้ของเครื่อง / การประมวลผลสัญญาณแนะนำให้มองหา:
- การเรียนรู้ Manifold
- เรขาคณิตสารสนเทศ
- การประมวลผลสัญญาณแบบไม่เชิงเส้น
- การเรียนรู้เชิงลึกทางเรขาคณิต
ตรวจสอบคำตอบนี้ในการแลกเปลี่ยนทางคณิตศาสตร์และการประชุมเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์นี้ตรงตาม Deep Learning
Btw the Functional Differential Geometryเป็นหนังสือที่ยอดเยี่ยม
หากคุณพบว่าโครงสร้างและการตีความโปรแกรมคอมพิวเตอร์น่าสนใจคุณอาจชอบFunctional Differential Geometry (มาจากผู้เขียนคนเดียวกัน)
เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เป็นเรื่องง่ายที่หลอกลวง เป็นเรื่องง่ายอย่างน่าประหลาดใจที่จะได้รับคำตอบที่ถูกต้องด้วยการจัดการสัญลักษณ์ที่ไม่ชัดเจนและไม่เป็นทางการ เพื่อแก้ไขปัญหานี้เราใช้โปรแกรมคอมพิวเตอร์เพื่อสื่อสารความเข้าใจที่แม่นยำเกี่ยวกับการคำนวณในเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ การแสดงวิธีการของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ในภาษาคอมพิวเตอร์บังคับให้พวกเขาไม่มีความคลุมเครือและมีประสิทธิภาพในการคำนวณ งานในการกำหนดวิธีการเป็นโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่เรียกใช้งานได้และการดีบักโปรแกรมนั้นเป็นแบบฝึกหัดที่มีประสิทธิภาพในกระบวนการเรียนรู้ นอกจากนี้เมื่อกำหนดขั้นตอนอย่างเป็นทางการแล้วความคิดทางคณิตศาสตร์จะกลายเป็นเครื่องมือที่สามารถใช้ในการคำนวณผลลัพธ์ได้โดยตรง
นำมาจากSussman, Wisdom: Functional Differential Geometry
ทุกวันนี้ทุกฟิลด์ที่มีชื่อ "ดิฟเฟอเรนเชียล" อยู่ในนั้นถูกนำไปใช้ในโครงข่ายประสาทเทียม สำหรับรูปเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์เช่นคุณสามารถคิดถึงการแสดงผลต่างในคอมพิวเตอร์กราฟิก
ในขณะนี้ฉันกำลังดำเนินการกับบทความ "A Differential Theory of Radiative Transfer" โดย Zhang et al