Qutoient monoid ของคู่เคอร์เนล monoid homomorphism ระหว่างธรรมชาติที่ทวีคูณกับธรรมชาติที่เพิ่มเข้ามา (ผลรวมของจำนวนเฉพาะ)

Question

ปล่อย $M = \Bbb{N}^{\times}$ และ $N = (\Bbb{N}\setminus \{1\} \cup \{0\})^+$ เป็นตัวคูณตามลำดับและสารเติมแต่งธรรมชาติและปล่อยให้ $\varphi : M \to N$ ถูกกำหนดโดยการ $1$ ถึง $0$ และ $\prod_{i} p_i$ ถึง $\sum_i p_i$ สำหรับผลคูณของช่วงเวลาใด ๆ $p_i$. จากนั้นเรากำลังดู homomorphism แบบโมโนนอยด์ที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน

พิจารณาคู่เครีเนล $\ker \varphi = \{ (x,y) \in M \times M : \varphi(x) = \varphi(y)\}$. เป็นการกำหนดความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันบน$M$ ดังนั้นเราจึงสามารถหาผลหาร:

$$ M' = M/\ker \varphi $$

ก่อนอื่นโปรดทราบว่าสิ่งต่างๆเกิดขึ้นเช่น $\varphi(39) = \varphi(55)$ ตั้งแต่ $3 + 13 = 16 = 5 + 11$ ดังนั้น $\ker \varphi$ ไม่ใช่เรื่องเล็กน้อย

บทความวิกิพีเดียฯ :

ปรากฎว่า $\ker f$ เป็นความสัมพันธ์ที่เท่าเทียมกันบน $M$และในความเป็นจริงแล้วความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงสมเหตุสมผลที่จะพูดถึงโมนอยด์ผลหาร$M/(\ker f)$. ทฤษฎีบทไอโซมอร์ฟิซึมแรกสำหรับโมโนออยด์กล่าวว่าโมโนออยด์ที่เป็นผลหารนี้เป็นไอโซมอร์ฟิกตามธรรมชาติของภาพ$f$ (ซึ่งเป็น submonoid ของ $N$), (สำหรับความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกัน)

ด้วยประการฉะนี้ $M' \simeq N$, ตั้งแต่ $\varphi$เป็นการคาดเดา เราจะแสดงให้เห็นอย่างง่ายดายได้อย่างไร$\varphi$คาดเดา? ดูเหมือนว่าบางทีเราสามารถใช้$(p) + (q) = \Bbb{Z}$ สำหรับสองอุดมคติที่สำคัญ $p,q$ แต่เราทำไม่ได้จริง ๆ เนื่องจากจำนวนเต็มลบจะเข้ามาเกี่ยวข้อง

Answer 1

ถ้า $n$ เป็นคู่ $n = \varphi(2^{n/2})$ และถ้า $n$ เป็นเรื่องแปลก $n = \varphi(2^{(n-3)/2}\times 3)$.