ทำไมเราถึงมี $\hbar$ ในความสัมพันธ์การแลกเปลี่ยน?
ลองนึกถึงค่าคงที่พลังค์ที่ความชันของความสัมพันธ์การกระจายสนามแม่เหล็กไฟฟ้า $E=\hbar \omega$. ค่าคงที่พลังค์ไม่เป็นอิสระจากประจุอิเล็กตรอนทั้งสองสามารถปรับขนาดได้ตราบเท่าที่ค่าคงที่ของโครงสร้างที่ดียังคงไม่เปลี่ยนแปลง ถึงกระนั้นก็มักจะสะดวกในการใช้ทั้งสองอย่าง
เมื่อเราเริ่มเรียนรู้ QM ก่อนที่จะไปถึง QED เราได้รับการสอนว่าค่าคงที่พลังค์ปรากฏเป็นผลคูณของ $i$ในความสัมพันธ์เชิงปริมาณที่ยอมรับได้ ทำไม??
อย่าเข้าใจฉันผิดฉันเห็นด้วยกับข้อเท็จจริงที่ปรากฏในการศึกษาเกี่ยวกับออสซิลเลเตอร์ มันอาจเป็นปริมาณที่มีมิติซึ่งแสดงปริมาณอื่น ๆ ที่มีหน่วยเดียวกัน
แต่เรามักจะถูกบอกว่าแตกต่างกันมาก ในน้ำใจ "เลขนี้$\hbar$ ใน $[q,p]=i\hbar$ คือค่าคงที่พลังค์ที่มีค่า ... และกำหนดมาตราส่วนที่ฟิสิกส์เริ่มเป็นควอนตัม "
ลองนึกภาพโลกที่ไม่มี QED ด้วยควาร์กและกลูออนที่มีปฏิสัมพันธ์อย่างรุนแรงเท่านั้น พวกเขาจะใส่หมายเลขใดลงในความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนเมื่อสอนระดับปริญญาตรี
คำตอบ
คำถามนี้แสดงให้เห็นถึงความท้าทายพื้นฐานประการหนึ่งในการสอนฟิสิกส์ เราจำเป็นต้องเรียนรู้สิ่งที่ง่ายกว่าก่อนเพราะเราเป็นมนุษย์ แต่นั่นขัดแย้งโดยตรงกับความปรารถนาที่จะเรียนรู้สิ่งต่าง ๆ ในลำดับที่มีเหตุผลชัดเจน (สัจพจน์ที่ลึกที่สุดก่อนและตลอดไปจะได้รับทุกสิ่งทุกอย่างจากสิ่งเหล่านั้นตลอดไป)
เราเรียนรู้ $E=\hbar\omega$สำหรับโฟตอนก่อนเพราะง่ายกว่า จากนั้นเราเรียนรู้ QM แบบไม่สัมพันธ์กันแล้วเรียนรู้ QED แต่สาเหตุของการปรากฏตัวของค่าคงที่เท่ากัน$\hbar$ ทั้งสองอย่าง $E=\hbar\omega$ (สำหรับโฟตอน) และใน $[q,p]=i\hbar$ non-relativistic QM (ซึ่งไม่มีโฟตอน) มาจาก QED!
สำหรับกรณีนี้วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้คือหลังจากนักเรียนเรียนรู้แล้ว $E=\hbar\omega$สำหรับโฟตอนชี้ให้เห็นว่านี่เป็นกรณีพิเศษของความสัมพันธ์ที่ใช้ได้กับอนุภาคของมวลทั้งหมดไม่ใช่เฉพาะอนุภาคที่ไม่มีมวล โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสัมพันธ์เดียวกันนี้มีไว้สำหรับอนุภาคขนาดใหญ่ใน QM ที่ไม่สัมพันธ์กัน ตอนนี้หลังจากแนะนำพื้นฐานบางอย่างเกี่ยวกับ QM แบบไม่สัมพันธ์กันเราสามารถประกาศได้ว่าปัจจัยของ$\hbar$ จริงๆแล้วมาจากความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนและจากนั้นเราสามารถแสดงให้พวกเขาเห็นว่าจะได้มาซึ่งความเป็นจริงได้อย่างไร $E=\hbar\omega$ จากเหตุผลที่ลึกกว่านั้น (สำหรับอนุภาคขนาดใหญ่)
เมื่อถึงเวลาที่นักเรียนพร้อมที่จะเรียนรู้ QM แบบไม่สัมพันธ์กันพวกเขาควรจะคุ้นเคยกับข้อเท็จจริงทั่วไปอยู่แล้วว่าลำดับของสิ่งที่ง่ายกว่ามักจะแตกต่างจากลำดับที่ชัดเจนในเชิงตรรกะดังนั้นพวกเขาจึงควรเปิดกว้างสำหรับการจัดเรียงใหม่ ดูว่าค่าคงที่ของพลังค์ "มาจากไหน" เมื่อพวกเขาเรียนรู้ QM แบบไม่สัมพันธ์กัน และเมื่อนักเรียนเห็นว่าปัจจัยของ$\hbar$ ใน $E=\hbar\omega$ เกิดขึ้นจากความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนใน QM แบบไม่สัมพันธ์กันพวกเขาควรเปิดกว้างสำหรับความคิดที่ว่าสิ่งที่คล้ายกันอาจเป็นจริงมากกว่าโดยทั่วไปดังนั้นพวกเขาควรเปิดกว้างสำหรับคำแถลงเช่นนี้:
ต่อมาเมื่อคุณเรียนรู้เกี่ยวกับ QED เชิงสัมพัทธภาพคุณจะเห็นว่าความสัมพันธ์นั้น $E=\hbar\omega$ สำหรับโฟตอนได้รับปัจจัยของมัน $\hbar$ จากแหล่งเดียวกัน: การแลกเปลี่ยนความสัมพันธ์
นี่ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาที่สมบูรณ์แบบเนื่องจากนักเรียนอาจคิดว่า "ความสัมพันธ์การเปลี่ยน" หมายถึง "ระหว่างตำแหน่งที่สังเกตได้และโมเมนตัมที่สังเกตได้" ซึ่งไม่เป็นความจริงใน QED ปัญหานั้นยังมีวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายอีกด้วยแม้ว่าสิ่งที่ขาดหายไปอย่างแปลกประหลาดจากหลักสูตรมาตรฐาน: หลังจากสอน QM แบบไม่สัมพันธ์กันและก่อนที่จะสอน QED ให้สอน QFT แบบไม่สัมพันธ์กัน! Non-relativistic QFT เป็นสะพานการสอนที่ยอดเยี่ยมด้วยเหตุผลหลายประการและนี่คือหนึ่งในเหตุผลเหล่านั้น การใช้ QFT แบบไม่สัมพันธ์กันซึ่งการคำนวณเป็นเรื่องง่ายเราสามารถแสดงให้นักเรียนเห็นว่าความสัมพันธ์การเปลี่ยนตำแหน่ง - โมเมนตัมเกิดขึ้นจากความสัมพันธ์การสับเปลี่ยนของสนาม จากนั้นเรียนรู้ว่าเหตุใดเราจึงไม่สามารถสร้างตัวดำเนินการตำแหน่งที่เข้มงวดในกรณีเชิงสัมพัทธภาพ - และทำไมเราถึงยังได้$E=\hbar\omega$ โดยตรงจากความสัมพันธ์การเปลี่ยนสนาม - ควรเป็นขั้นตอนแนวคิดที่ค่อนข้างง่าย
สิ่งนี้ไม่ได้ขึ้นอยู่กับ QED โดยเฉพาะ แต่เป็นผลมาจากคุณสมบัติทั่วไปของกลศาสตร์ควอนตัมที่โมเมนตัมคือฟูริเยร์คอนจูเกตของตำแหน่งหรืออีกทางเลือกหนึ่งจากการแก้สมการชเรอดิงเงอร์ ในหน่วยธรรมชาติการแปลงฟูเรียร์มีคำว่า$e^{ix\cdot p}$. ตามนั้นหน่วยธรรมชาติของโมเมนตัมคือ 1 / [ความยาว] และในทำนองเดียวกันหน่วยพลังงานตามธรรมชาติคือ 1 / [เวลา] เช่นเดียวกับทฤษฎีสัมพัทธภาพแสดงให้เห็นว่าหน่วยระยะทางธรรมชาตินั้นเหมือนกับหน่วยของเวลา ($c=1$) กลศาสตร์ควอนตัมแสดงให้เห็นว่าหน่วยพลังงานตามธรรมชาติคือ $\mathrm s^-1$. กล่าวอีกนัยหนึ่ง$\hbar$เป็นเพียงค่าคงที่การแปลงระหว่างหน่วยธรรมชาติกับพลังงาน (หรือมวล) สิ่งนี้สะท้อนให้เห็นในนิยาม SIปัจจุบันของกิโลกรัมในแง่ของค่าคงที่ของพลังค์