ตรวจสอบความแตกต่างที่ $x=0$
ดังนั้นคำชี้แจงปัญหาที่ฉันกำลังดำเนินการคือ
ค้นหาอินทิกรัลไม่แน่นอนของ $\exp(-|x|)$ ด้วยความเคารพ $x$.
ฉันได้ให้คำตอบไว้ด้านล่าง แต่ฉันมีคำถามสองสามข้อในตอนท้าย ฉันเดาว่าจะง่ายกว่าถ้าฉันแสดงผลงานก่อน (หรือไปที่ย่อหน้าสุดท้ายเพื่อข้ามไปที่คำถามของฉันโดยตรง)
คำตอบของฉัน \begin{align*} \int \exp(-|x|) dx &= \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}\\ &\overset{(\star)}{=} \begin{cases} -\exp(-x) + 2 + C \text{ if } x\geq0\\ \exp(x) + C \text{ if } x<0 \end{cases} \end{align*}
ฉันเพิ่ม $2$ ไปทางขวามือของกราฟตั้งแต่เวลา $x=0$, \begin{align*} -\exp(-0) + C_1 &= \exp(0) + C_2 \\ \implies -1 + C_1 &= 1 + C_2 \\ \implies C_1 &= 2 + C_2 \end{align*}
ฉันเพิ่มกราฟเพื่อให้เห็นภาพความไม่ต่อเนื่องที่ต้องลบออก พูดอย่างเคร่งครัดฉันไม่ได้ทำที่นี่เพราะฉันยังต้องแสดงให้เห็นว่าการต่อต้านอนุพันธ์นั้นแตกต่างกันได้ที่จุดเริ่มต้น ดังนั้นฉันจึงพยายามใช้นิยามของอนุพันธ์คือ
\ start {สมการ *} f '(x_0) = \ lim_ {x \ ถึง x_0} \ frac {f (x_0 + h) -f (x_0)} {h} \ end {สมการ *}
แต่ฉันไม่แน่ใจจริงๆว่าถูกต้องหรือไม่:
จำกัด ซ้ายมือ
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^-}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(x_0+h)+C-(\exp(x_0)+C)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)-1}{h} && \text{Rule of L'hopital}\\ &= 1 \end{align*}
ลิมิตมือขวา
\begin{align*} F(x_0) &= \lim_{h\to0^+}\frac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-x_0-h)+2+C-(-\exp(-x_0)+2+C)}{h} \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(x_0)\exp(-h)+\exp(x_0)}{h} && x_0 = 0 \\ &= \lim_{h\to0^+}\frac{-\exp(-h)+1}{h} && \text{Rule of L'hopital} \\ &= 1 \end{align*}
จากนี้ดูเหมือนว่าจะเพิ่ม $2$ไม่ได้สร้างความแตกต่างในการพิสูจน์ความแตกต่างนี้จริงหรือ? ฉันไม่รู้สึกดีกับตัวเองที่ใช้ Rule of L'hopital ในการพิสูจน์ข้อ จำกัด แต่ฉันก็ไม่มีวิธีอื่นที่จะดำเนินการต่อดังนั้นนั่นคือสิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันสามารถทำได้ในสถานการณ์นี้

คำตอบ
การเพิ่ม $2$ช่วยในการคำนวณขีด จำกัด ได้มาก มีผลต่อขีด จำกัด ด้านซ้ายอย่างมาก ดูที่ตัวเศษ$$ F(x_0+h)-F(x_0) $$ ที่นี่ทางซ้าย $F$ ใช้ $C_1$ และทางขวา $F$ ใช้ $C_2$ดังนั้นตัวเศษนี้จึงไม่เข้าใกล้ $0$ เลยเว้นแต่คุณจะเพิ่มไฟล์ $2$.
สำหรับวิธีการหลีกเลี่ยงโรงพยาบาลนั้นขึ้นอยู่กับว่าคุณกำหนดอย่างไร $\exp$. ไม่ว่าจะในอัตราใดก็ตามคุณสามารถสังเกตได้ว่าขีด จำกัด ทางซ้ายของคุณจะเท่ากับอนุพันธ์ด้านซ้ายของ$e^x$ ที่ $x=0$(เพียงแค่ใส่คำจำกัดความของอนุพันธ์แล้วดูว่าคุณได้สิ่งเดียวกัน) ในทำนองเดียวกันขีด จำกัด ด้านขวาจะเท่ากับอนุพันธ์ด้านขวาของ$-e^{-x}$ ที่ $x=0$. ดังนั้นถ้าคุณรู้แล้วว่าอนุพันธ์ทั้งสองนี้คืออะไรคุณก็ทำเสร็จแล้ว
หากคุณไม่เพิ่มสิ่งนั้น $2$ฟังก์ชันของคุณจะไม่ต่อเนื่องที่ $0$ดังนั้นมันจะไม่แตกต่างกันในตอนนั้น ถ้าไม่ใส่$0$อนุพันธ์ทางซ้ายที่ $0$ จะ$$\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+C-(-\exp(0)+C)}h=\lim_{h\to0^-}\frac{\exp(h)+1}h=-\infty.$$
ทางด้านซ้าย antiderivative คือ
$$e^{x}+C_-$$ และทางด้านขวา
$$-e^{-x}+C_+.$$
ต้องมั่นใจว่ามีความต่อเนื่อง ณ จุดนัดพบ (เนื่องจากเป็นสารต่อต้านโรค) และ $$f(0)=1+C_-=-1+C_+$$ ต้องระบุ.
ตอนนี้เป็นบวก $h$
$$f'^+(0)\leftarrow\frac{f(h)-f(0)}h=\frac{-e^{-h}+1}h$$ และ $$f'^-(0)\leftarrow\frac{f(-h)-f(0)}{-h}=-\frac{e^{-h}-1}h$$ดังนั้นหากขีด จำกัด ใน RHS มีอยู่อนุพันธ์ก็มีอยู่ และมันมีอยู่จริงเนื่องจากมันเป็นอนุพันธ์ที่ถูกต้องของเลขชี้กำลังเป็นลบ
$f(x)=\exp(-\vert x \vert)$ เป็นแผนที่ต่อเนื่องเนื่องจากเป็นองค์ประกอบของแผนที่ต่อเนื่อง
ดังนั้นคุณไม่จำเป็นต้องตรวจสอบว่าอนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด มีอยู่จริงหรือไม่ มันมีอยู่โดยทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส
ความเท่าเทียมกัน
$$\int \exp(-|x|) dx = \begin{cases} \int \exp(-x) dx \text{ if } x\geq0\\ \int \exp(x) dx \text{ if } x<0\\ \end{cases}$$ ที่คุณเขียนไม่สมเหตุสมผล
อินทิกรัลไม่ จำกัด คือหนึ่งซึ่งไม่แตกต่างกันทางด้านซ้ายและทางด้านขวาของศูนย์
สิ่งที่คุณสามารถเขียนได้คือ
$$\int \exp(-\vert t \vert) dt= C + \int_0^x f(t) dt$$
แล้วแยกกรณี $x<0$ และ $x \ge 0$.