วิธีการคำนวณ $\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$

Question

$$\lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x$$

ความคิดของฉันคือการใช้ขีด จำกัด ของหมายเลข euler แต่ฉันคิดว่าหนังสือ "ต้องการให้ฉัน" คำนวณโดยใช้คำหลักต่อไปนี้:

ถ้า f เป็นอนุพันธ์สองเท่าในช่วง I ด้วย $a \in I. \forall x \in I, f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac 12f''(z)(x-a)^2, z$ อยู่ระหว่าง $a$ และ $x$. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง$\epsilon(x)=\frac12f''(z)(x-a)^2$

อีกสิ่งหนึ่งที่ฉันคิดคือ:

$$x=2y \Rightarrow \lim _{x\to \infty }x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x= \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)^{2y}\\ = \lim _{y\to \infty }2y\sin\left(\exp\left(2y\ln\left(\frac{1}{\lceil{y}\rceil}\right)\right)\right)$$

ฉันเดินผิดทางหรือเปล่า?

Answer 1

ตั้งแต่ $\sin(x)\le x$ สำหรับความจริงเชิงบวกทั้งหมด $x$:

$$\sin\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)\le\frac{2}{\lceil{x}\rceil}, $$

ที่ไหน

$$\frac{2}{x+1}\le \frac{2}{\lceil{x\rceil}}\le\frac{2}{x}.$$ ดังนั้น

$$x\left(\frac{2}{x+1}\right)^x\le x\left(\frac{2}{\lceil{x}\rceil}\right)^x\le x\left(\frac{2}{x}\right)^x,$$

และขีด จำกัด ของคุณตามมาจากทฤษฎีบทบีบ

Answer 2

$$x\sin\left(\frac{1}{\lceil{\frac{x}{2}}\rceil}\right)^x \leqslant x \left(\frac{1}{2}\right)^x$$