Chaostheorie

Chaos ist überall um uns herum. Fraktale entstehen aus Chaos. Sie sind die im Chaos gebildeten Muster und Ordnungen. Fraktale Geometrie ist Teil eines umfassenderen Themas namens Chaostheorie. Also, was ist „Chaos“ und worum geht es in der „Chaostheorie“ ?

Fraktale sind aus einer größeren Theorie namens „ Chaos-Theorie “ entstanden. Also, was ist diese Chaos-Theorie? Lassen Sie uns ein kleines Spiel spielen, um es herauszufinden …

[Ich habe zum ersten Mal Chaos Theory erklärt durch dieses Spiel auf dem YouTube-Kanal Numberphile gesehen und es hat mich sehr fasziniert. Also werde ich mein Bestes versuchen, es zu wiederholen und zu erklären, basierend auf meinem Verständnis.]

Nennen wir dieses Spiel das Chaosspiel. Also, was braucht man, um es zu spielen? Nur ein leeres Blatt Papier, etwas zum Schreiben und einen Würfel.

Jetzt fangen wir an,

Wir beginnen damit, drei Punkte auf dem Papier zu markieren, fast wie die drei Eckpunkte eines Dreiecks. Benennen Sie die Punkte A, B und C. Zeichnen Sie einen weiteren Punkt als Ausgangspunkt. Jetzt würfeln, wenn 1 oder 2 kommt, dann markiere einen Punkt zwischen Startpunkt und A. Kommt aber 3 oder 4, dann markiere einen Punkt zwischen Startpunkt und B, sonst markiere a Punkt zwischen dem Startpunkt und C, das heißt, wenn 5 oder 6 kommt.

Angenommen, 2 wird angezeigt, also markieren Sie einen Punkt zwischen dem Startpunkt und A.

Dann würfelst du erneut. Angenommen, 2 kommt wieder. Dann markieren Sie einen Punkt zwischen dem vorherigen Punkt, den Sie gesetzt hatten, und A. Dann wiederholen Sie den Vorgang.

Nehmen wir an, Sie erhalten nach einigen Versuchen 4, Sie markieren einen Punkt zwischen dem vorherigen Punkt, den Sie markiert hatten, und B.

Sie haben die Idee, richtig?

Aber wenn Sie dies für einige Zeit tun, würden Sie nur einige zufällige und chaotische Punkte auf dem Blatt bemerken. Aber was ist, wenn uns diese zufälligen Punkte zu etwas Unerwartetem führen? Um einige Ergebnisse zu sehen, können wir einen Computer bitten, dies zu tun. Es gibt viele Websites, wo dies möglich ist. Ich habe einen davon ausprobiert. (Um es selbst auszuprobieren, klicken Sie hier ). Darin habe ich die Anzahl der Punkte auf 3 eingestellt und auf Start geklickt und die Geschwindigkeit auf "schnell" eingestellt. Der Startpunkt, oder hier als Spurpunkt bezeichnet, begann sich zu bewegen und markierte Punkte. Nachdem ich etwa 5 Minuten gewartet hatte, war mir folgendes aufgefallen:

Es ist tatsächlich das Sierpinski-Dreieck ! Zufällige Punkte und Chaos führen uns zu solch einer Ordnung und einem symmetrischen Muster. Dies ist ein Teil der Chaostheorie. Die Chaostheorie wird normalerweise definiert als:

„ Der Zweig der Mathematik, der sich auf das Verhalten dynamischer Systeme konzentriert, die sehr empfindlich auf Anfangsbedingungen reagieren. ”

Die Anfangsbedingungen in diesem Fall waren also die drei Punkte, von wo aus wir begannen, und die Regel, nach der wir die Punkte markierten. Wenn Sie statt mit 3 mit 5 Punkten beginnen, erhalten Sie ein anderes Muster. In der Chaostheorie führt scheinbare Zufälligkeit zu verschiedenen Mustern, Fraktalen, Symmetrien usw. Der Barnsley-Farn kann auch durch das Chaosspiel erzeugt werden.

(Um es selbst auszuprobieren, klicken Sie hier ).

Überraschenderweise wurde das Konzept der Chaostheorie nicht zuerst von einem Mathematiker entdeckt, sondern von einem Meteorologen namens Edward Norton Lorenz . Er war ein Mathematiker im Mantel eines Meteorologen. Alles begann mit einem Konzept, das sehr berühmt wurde und in Büchern und Filmen verwendet wurde. Das ist der Butterfly-Effekt .

Der Schmetterlingseffekt besagt im Grunde, dass der Flügelschlag eines Schmetterlings einige Wochen später einen Tornado auf der anderen Seite der Welt verursachen kann. Scheint unmöglich, nicht wahr? Insbesondere ist es die Empfindlichkeit dynamischer Systeme gegenüber Anfangsbedingungen. Der Schmetterlingseffekt war ein Konzept, das nur aufgrund von Annäherungen entdeckt wurde.

Wetterfrösche sind dafür bekannt, Schätzungen über das Wetter anzustellen und dabei unglaublich ungenau zu sein, aber es ist nicht ganz ihre Schuld. Das liegt am Schmetterlingseffekt.

Edward Lorenz arbeitete in der Wettervorhersageabteilung. Er war dort einer der Meteorologen. Er hatte zunächst einige Werte im Zusammenhang mit der Vorhersage gefunden, die etwa 6 Dezimalstellen hatten. Wenn er dies in seinen Computer einspeiste, ergab sich ein bestimmtes Diagramm. Dann fütterte er die gleichen Werte noch einmal. Nur diesmal wurden die Werte gerundet und auf 3 Nachkommastellen angenähert. Anfangs war die Grafik die gleiche. Aber nach einiger Zeit wies die zweite Grafik so viele Unterschiede und Variationen im Vergleich zur ersten auf, dass sich die Vorhersage vollständig änderte. Nur ein Unterschied von etwa 0,001 in den Werten verursachte eine so große Veränderung in der Grafik. Das ist der Butterfly-Effekt. Hier wurde die gesamte Idee der Chaostheorie geboren.

Fraktale sind ein Teil dieser Theorie des Chaos. Die Chaostheorie wurde auch von Edward Lorenz wie folgt zusammengefasst:

„ Chaos: Wenn die Gegenwart die Zukunft bestimmt, aber die ungefähre Gegenwart nicht ungefähr die Zukunft bestimmt. ”