Ziel dieses Artikels: Diesen Wert numerisch definieren und berechnen. Die Konstanten würden in der Mathematik vorkommen.

Vorausgesetzte Kenntnisse: Integration (Kalkül), Konvergenzkonzept

Definition

Auch als Euler-Konstante bekannt (nicht zu verwechseln mit e = 2,718281828459045…), die Euler-Mascheroni-Konstante , die mit dem kleinen Gamma (γ) bezeichnet wird, ist definiert als:

„Die Grenze als n → ∞ der Differenz zwischen der harmonischen Reihe und dem natürlichen Logarithmus von n .“

Oder,

Diese Konstante mit einem Wert von ungefähr γ = 0,57721566490153286060651209008240243104215933593992… existiert. Aber es ist immer noch nicht bekannt, ob die Konstante transzendental oder algebraisch ist. Tatsächlich ist nicht einmal bekannt, ob γ rational oder irrational ist.

Wenn diese Konstante rational ist, muss der Nenner größer als 10²⁴²⁰⁸⁰ sein.

Berechnung des Wertes von γ

Lassen Sie uns verschiedene Werte von n in der oben definierten Gleichung von γ ersetzen,

Wir können hier sehen, dass sich der Wert mit zunehmendem und immer größer werdendem n oder gegen unendlich strebendem Wert dem ursprünglich definierten Wert dieser Konstante annähert. Diese Zahl ist die Euler-Mascheroni-Konstante .

Grafische Darstellung von γ

Der orangefarbene Bereich unter der Kurve y = 1/ x ist die natürliche Logarithmusfunktion. Dies liegt daran, dass die Integration oder Fläche unter dem Graphen y = 1/x ln x ist .

Der grüne Bereich der Balken ist eine grafische Darstellung der harmonischen Reihe.

Die Differenz zwischen diesen beiden durch die blauen Punkte (unten) schattierten Bereiche stellt die Euler-Mascheroni-Konstante dar,

Beweis der Konvergenz

Wir wissen, dass, wenn n gegen unendlich geht, die Funktion, die die Euler-Mascheroni-Konstante definiert, gegen einen bestimmten konstanten Wert konvergiert . Aber wie beweisen wir diese Konvergenz ohne rohe Gewalt?

Wir wissen also,

Woher,

Lass uns nehmen,

was die Konstante ergibt, wenn n gegen unendlich geht.

Um die Konvergenz zu beweisen, werden wir

1. Beweisen Sie, dass die Folge abnimmt und dann
2. Beweisen Sie, dass es beschränkt ist .

Um nun ln⁡(1 +x ) mit der Taylor-Reihe auszudrücken ,

Unter x = -1/ n ,

Mit (3) in (2),

Daher,

Daher ist die Folge monoton streng fallend .

II. SEQUENZ IST BEGRENZT

a) Obere Grenze der Sequenz

Da wir jetzt wissen, dass die Folge streng fallend ist, wäre der erste Term der Folge der größte Term.

Der erste Term ist also

Die Obergrenze ist also 1 .

a) Untere Sequenzgrenze

Wir wissen das,

Dies kann geschrieben werden als,

Jetzt,

Wir können e^x definieren als

Wenn wir den Fall weglassen, wo x = 0 ist,

Damit,

Auf beiden Seiten natürliches Holz nehmen,

Von (5),

Summieren auf beiden Seiten,

Von (4),

Hinzufügen von H_n auf beiden Seiten der Gleichung,

Oder,

Die Untergrenze ist also 0.

G_n ist also eine monoton streng fallende Folge mit Schranken,

Daher konvergiert die Folge gegen einen Grenzwert γ , so dass 0 < γ < 1.

Der Grenzwert der Folge G_n für n → ∞ ist die Euler-Mascheroni-Konstante .