Einführung

Ein Terminkontrakt ist eine Vereinbarung zwischen zwei Kontrahenten, einen bestimmten Vermögenswert, beispielsweise eine Aktie, zu einem bestimmten zukünftigen Zeitpunkt T und zu einem bestimmten Preis K zu handeln . Zum aktuellen Zeitpunkt t ≤ T erklärt sich eine Partei bereit, den Vermögenswert zu T zu einem Preis von K zu kaufen , und hält den Kontrakt effektiv lang. Der Kontrahent verpflichtet sich, den Vermögenswert zu T zu einem Preis von K zu verkaufen , und ist effektiv leer im Kontrakt. Der Preis K wird als Lieferpreis und die Zeit T als Fälligkeit bezeichnet.

Preise für Forward-Kontrakte

Sei Vₖ(t, T) der Wert eines Long-Terminkontrakts auf eine Aktie S zum Zeitpunkt t mit Lieferpreis K und Fälligkeit T , und sei S(t) der Preis der Aktie S zum Zeitpunkt t , das ist es Es ist leicht zu erkennen, dass der Wert des Terminkontrakts bei Fälligkeit einfach die lineare Auszahlungsfunktion Vₖ(T, T) = S(T) — K ist .

Wir definieren den Terminpreis F(t, T) zum Zeitpunkt t als den Lieferpreis K, so dass Vₖ(t, T) = 0 ist, d. h. so, dass der Wert des Terminkontrakts zum Zeitpunkt t Null ist . Darüber hinaus kann man per Definition bei einem Terminkontrakt mit dem Lieferpreis K = F(t, T) ohne Vorabkosten long gehen. Daraus folgt natürlich F(T, T) = S(T) .

Betrachten Sie ein allgemeineres Vₖ(t, T) und F(t, T) bei t ≤ T . Sei r der konstante Nullzins mit kontinuierlicher Aufzinsung und unterdrücken Sie jegliche Abhängigkeit des Zinssatzes von der Zeit. Für einen Terminkontrakt auf eine bestimmte Aktie S , der keine Dividenden zahlt, behaupten wir, dass F(t, T) = S(t)eʳ ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Die Art und Weise, wie wir die obige Aussage beweisen, ist durch das fundamentale Theorem der Preisgestaltung von Vermögenswerten , das besagt, dass es in einem effizienten Markt niemals Gelegenheiten für Arbitrage gibt. Mit anderen Worten, man kann nicht einfach mit einem leeren Portfolio beginnen und am Ende mit einem Portfolio mit positivem Wert enden, indem man Transaktionen auf dem Markt durchführt.

Stellen Sie sich das Szenario vor, in dem F(t, T) < S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , zum Zeitpunkt t , ein Trader mit einem leeren Portfolio einen Terminkontrakt longen und die Aktie S sofort zum aktuellen Marktpreis S( t) , und zahle das Geld zu einem Zinssatz von r ein .

Zum Zeitpunkt T muss der Händler die Aktie zum zuvor vereinbarten Lieferpreis F(t, T) gemäß Terminkontrakt kaufen. Der Händler erhält auch das eingezahlte Geld in Höhe von jetzt insgesamt S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Da F(t, T) < S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , endet der Trader mit einem Portfolio S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ — F(t, T) > 0 , was unserem Start widerspricht Annahme „ keine Arbitrage “.

Umgekehrt, angenommen F(t, T) > S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ , kann ein Händler zum Zeitpunkt t einen Terminkontrakt leerverkaufen, S(t) Geldbetrag zum Zinssatz r leihen, um den zu kaufen und zu halten Aktie S zum aktuellen Marktpreis S(t) .

Zum Zeitpunkt T verkauft der Händler die Aktie zu F(t, T) und zahlt das Darlehen mit aufgelaufenen Zinsen in Höhe von S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ zurück . Auch hier bleibt dem Trader ein positives Portfolio F(t, T) — S(t)eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ > 0 .

Im obigen Beispiel sind wir davon ausgegangen, dass die Zinssätze für Geldeinlagen und Geldleihen gleich sind. In der Realität besteht meist eine Spanne zwischen Sollzins und Sollzins. Sei r₁ der Sollzins und r₂ der Sollzins ( r₁ < r₂ ergibt die Geld-Brief-Spanne). Wir können nun die untere und obere Schranke für den Terminpreis S(t)eʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ ≤ F(t, T) ≤ S(t)eʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ konstruieren .

Der Beweis folgt der gleichen Logik wie zuvor. Beachten Sie, dass, wenn der Händler einen Kontrakt kauft und die Aktie jetzt sofort zu S(t) verkauft, S(t) nur zum aktuellen Leihzinssatz r₁ eingezahlt werden kann . Umgekehrt, wenn der Trader einen Vertrag leerverkauft und einen Geldbetrag von S(t) leiht, um die Aktie zu S(t) zu kaufen , ist der Zinssatz für das Darlehen der Leihzinssatz r₂ .

Preisterminkontrakt mit Dividende

Gehen wir noch einen Schritt weiter und betrachten wir nun eine Aktie S , die eine bekannte Dividendenrendite p zahlt , ausgedrückt als Prozentsatz des Aktienkurses auf einer kontinuierlich pro Jahr berechneten Basis. Wir behaupten, dass der Terminpreis für den Terminkontrakt auf eine Aktie S mit dem aktuellen Marktpreis S(t) zum Zeitpunkt t F(t, T) = S(t)e⁽ʳ⁻ᵖ⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ ist .

Wir erhalten dieses Ergebnis unter Verwendung von zwei Portfolios. Lassen Sie Portfolio A aus e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ Einheiten der Aktie bestehen, wobei die Dividenden kontinuierlich in die Aktie reinvestiert werden, und lassen Sie Portfolio B aus einem Terminkontrakt auf die Aktie mit Lieferpreis K und Laufzeit T und Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ bestehen ᵗ⁾ Bargeldbetrag.

Zum Zeitpunkt T verfügt Portfolio B über Barmittel in Höhe von insgesamt Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = K , das wiederum für die Ausübung der Forward-Option und den Erhalt der Aktie S ausgegeben wird, deren aktueller Marktpreis S(T) ist, wodurch der Wert des Portfolios B bei S(T) verrechnet wird . Ebenso hat Portfolio A den Wert von S(t) . eᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = S(T) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = S(T) . Da beide Portfolios A und B zum Zeitpunkt T den gleichen Wert S(T) haben und wir zwischen dem Zeitpunkt t und T nichts von einem Wert ungleich Null hinzugefügt oder abgezogen habenfolgt daraus, dass die beiden Portfolios zum Zeitpunkt t auch den gleichen Wert haben müssen , also S(t) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = Vₖ(t, T) + Ke⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Um auf unsere Definition des Terminpreises F(t, T) zurückzukommen , ist F(t, T) der Lieferpreis K , so dass Vₖ(t, T) = 0 ist . Unter Verwendung der gerade hergeleiteten Formel haben wir jetzt S(t) . e⁻ᵖ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = 0 + F(t, T)e⁻ʳ⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Durch Umstellen der Terme auf beiden Seiten haben wir schließlich das Ergebnis F(t, T) = S(t)e⁽ʳ⁻ᵖ⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ erhalten .

Preisterminkontrakt auf Fremdwährung

Mit der gleichen Logik können wir den Terminpreis eines Terminkontrakts auf eine Fremdwährung f erhalten . Sei X(t) der Preis zum Zeitpunkt t in US-Dollar einer Einheit der besagten Fremdwährung f . Sei r₁ der Dollar-Nullkurs und r₂ der ausländische Nullkurs , beide konstant und kontinuierlich zusammengesetzt. Dann ist F(t, T) = X(t)e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Betrachten Sie Portfolio A mit e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ Einheiten der Fremdwährung f . Und Portfolio B mit einem Terminkontrakt mit Lieferpreis K in US-Dollar und Laufzeit T und Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ Geldbetrag in US-Dollar .

Bei Fälligkeit hat Portfolio B Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = K Betrag in US-Dollar , der anschließend für die Ausübung des Termingeschäfts ausgegeben wird, um eine Einheit der Fremdwährung f zu erhalten . Entsprechend hat Portfolio A e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . eʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = 1 Einheit der Fremdwährung f zum Zeitpunkt T . Da beide Portfolios zum Zeitpunkt T aus genau einer Einheit der Fremdwährung f bestehen und zwischen dem Zeitpunkt t und T keine weiteren Transaktionen mit Werten ungleich Null getätigt wurden , müssen sie zum Zeitpunkt t denselben Wert haben. Also X(t) . e⁻ʳ²⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ = Vₖ(t, T) + Ke⁻ʳ¹⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ . Wenn wir wieder Vₖ(t, T) = 0 und K = F(t, T) setzen , kommen wir zu F(t, T) = X(t)e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽ᵀ⁻ᵗ⁾ .

Eine Fallstudie

Devisentermingeschäfte gehören zu den liquidesten Derivatkontrakten der Welt und sagen oft mehr über die Gesundheit der Geldmärkte (Märkte für die Kreditaufnahme oder das Verleihen von Bargeld) aus als die veröffentlichten kurzfristigen Zinssätze selbst. Betrachten Sie die folgenden zwei Fragen.

(a) Am 3. Oktober 2008 wurde der Euro-Dollar-Wechselkurs bei 1 € = 1,3772 $ gehandelt, und der Terminpreis für einen Terminkontrakt vom 3. April 2009 betrug 1,3891 $. Unter der Annahme, dass die Euro-Zinssätze für sechs Monate 5,415 % betragen, wie hoch ist der implizierte Sechsmonats-Dollar-Zinssatz? Beide Zinssätze werden mit Act/360-Tage-Zählung und halbjährlicher Verzinsung notiert . (Zwischen dem 3. Oktober 2008 und dem 3. April 2009 liegen 182 Tage.)

In diesem Fall ist t = 0, T = 182, X(0) = 1,3772, F(0, 182) = 1,3891.

Unter Verwendung des Ergebnisses, das wir zuvor erhalten haben, F(0, 182) = X(0) . e⁽ʳ¹⁻ʳ²⁾⁽¹⁸²⁻⁰⁾ , wobei r₁ und r₂ der konstante und kontinuierlich zusammengesetzte Dollar-Nullkurs bzw. der ausländische Nullkurs sind.

eʳ²⁽¹⁸²⁻⁰⁾ ist der Endwert von 1 € nach 182 Tagen kontinuierlicher Aufzinsung zum konstanten Euro-Kurs r₂ , was 182 Tagen halbjährlicher Aufzinsung zum sechsmonatigen Euro-Kurs von 5,415 % entspricht, der mit act notiert wird /360 Tage zählen. Das heißt, eʳ²⁽¹⁸²⁻⁰⁾ = 1 * 182/360 * ((1 + 0,05415/2)² — 1) + 1. Der erste Term ist einfach der aufgelaufene Zins auf den 1 € über 182 Tage.

Ebenso sei x der implizite Sechsmonats-Dollarkurs, eʳ¹⁽¹⁸²⁻⁰⁾ = 1 * 182/360*((1 + x /2)² — 1) + 1.

Durch Ersetzen und Umordnen von Termen lösen wir nach x auf und erhalten x = 7,11820941 %. Daher beträgt der implizite Sechsmonats-Dollar-Kurs 7,11820941 %.

(b) Die veröffentlichten sechsmonatigen Dollarkurse betrugen tatsächlich 4,13125 %. Welche Arbitrage-Möglichkeiten gab es? Was muss ein potenzieller Arbitrageur tätigen, um diese Gelegenheit zu nutzen?

Ein Arbitrageur kann die folgende Transaktion durchführen, um auszunutzen:

Longieren Sie am 3. Oktober 2008 einen Terminkontrakt vom 3. April 2009, verkaufen Sie 1 € zu 1,3772 $ und hinterlegen Sie 1,3772 $ zu 4,13125 %.

Bei Fälligkeit am 3. April 2009 erhalten Sie von der Einlage Zinsen in Höhe von insgesamt 1,3772 $ * {[(1 + 0,0413125/2)² — 1] * 182/360 + 1} = 1,406260951 $ zurück und kaufen 1 € zu 1,3891 $ pro Terminkontrakt. Gewinn von 1,406260951 $ – 1,3891 $ = 0,01716095091 $ für jeden Kontrakt, den der Arbitrageur gekauft hat.

Verweise:

1. Eine Einführung in die quantitative Finanzierung. Stefan Blyth.https://vittaquant-ai.com/wp-content/uploads/2021/08/An-Introduction-to-Quantitative-Finance-by-Stephen-Blyth.pdf
2. https://quant.stackexchange.com/questions/68515/how-to-derive-forward-price-on-stock-with-continuous-dividend
3. Das erste Fundamentaltheorem der Asset Pricing. Cornell Fakultät für Mathematik.http://pi.math.cornell.edu/~mec/Summer2008/spulido/fftap.html