$a$ et $b$ sont des nombres réels inégaux non nuls et $\frac{a-b}{a}=\frac{b}{a-b}$, quelle est la somme de toutes les valeurs possibles pour $\frac{a}{b}$?

Question

$a$ et $b$ sont des nombres réels inégaux non nuls et $\frac{a-b}{a}=\frac{b}{a-b}$, quelle est la somme de toutes les valeurs possibles pour $\frac{a}{b}$?

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J'ai essayé la multiplication croisée (qui fonctionne depuis $a\neq b$), mais tout ce que j'ai fini par obtenir était $a^2-3ab+b^2=0$, que je ne parviens pas à utiliser à mon avantage. En dehors de cela, je ne peux penser qu'à dénigrer les possibilités, mais je vais probablement manquer quelque chose si je le fais. Quelqu'un peut-il aider?

Merci!

Answer 1

Astuce: prenez les fractions des deux côtés et divisez le haut et le bas par$b$: $$ \frac{a-b}{a} = \frac{b}{a-b} \implies \frac{(a/b)-(b/b)}{a/b} = \frac{(b/b)}{(a/b)-(b/b)}\\ \implies \frac{x - 1}{x} = \frac{1}{x - 1}, $$ où $x = a/b$.

Sinon, en prenant votre équation développée $a^2-3ab+b^2=0$ et en divisant les deux côtés par $b^2$ vous donne le même résultat.